请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

数学之家» 数学之家 查看内容

文章内容

三角级数部分和公式

发布者: castelu | 发布时间: 2012-7-18 19:19| 查看数: 1197| 评论数: 2|帖子模式

三角级数部分和公式

  我们知道,三角级数部分和函数$S_n(x)_1=\sum\limits_{k=1}^{n} \sin kx$与$S_n(x)_2=\sum\limits_{k=1}^{n} \cos kx$是常见的部分和函数。但是,它的求和结果有非常简单的表达式。
  我们计算$S_n(x)_1=\sum\limits_{k=1}^{n} \sin kx$与$S_n(x)_2=\sum\limits_{k=1}^{n} \cos kx$的表达式:
1.$S_n(x)_1=\sum\limits_{k=1}^{n} \sin kx$
$$\frac{2\sin \frac{x}{2}S_n(x)_1}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\sum\limits_{k=1}^{n} \sin kx}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n} 2\sin \frac{x}{2} \sin kx}{2\sin \frac{x}{2}}$$
$$=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n} (\cos(k-\frac{1}{2})x-\cos (k+\frac{1}{2})x)}{2\sin \frac{x}{2}}(三角函数积化和差公式)$$
$$=\frac{\cos \frac{x}{2}-\cos (n+\frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}$$
于是,得到
$$S_n(x)_1=\frac{\cos \frac{x}{2}-\cos (n+\frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}$$

2.$S_n(x)_2=\sum\limits_{k=1}^{n} \cos kx$
$$\frac{2\sin \frac{x}{2}S_n(x)_2}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\sum\limits_{k=1}^{n} \cos kx}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n} 2\sin \frac{x}{2} \cos kx}{2\sin \frac{x}{2}}$$
$$=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n} (\sin (k+\frac{1}{2})x-\sin (k-\frac{1}{2})x)}{2\sin \frac{x}{2}}(三角函数积化和差公式)$$
$$=\frac{\sin (n+\frac{1}{2})x-\sin \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}$$
于是,得到
$$S_n(x)_2=\frac{\sin (n+\frac{1}{2})x-\sin \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}$$

最新评论

jsliwenyun 发表于 2014-5-9 16:21:45
就第二题来讲,如果说乘以2cosx/2,是不是也可以?
castelu 发表于 2014-5-9 23:56:58
对的

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2018-12-15 21:27 , Processed in 4.484375 second(s), 35 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部