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利用局部Taylor公式计算极限

发布者: castelu | 发布时间: 2012-7-26 04:27| 查看数: 3845| 评论数: 0|帖子模式

利用局部Taylor公式计算极限

  我们知道,函数极限是数学分析中重要的概念,除了传统计算函数极限的方法以外,某些函数还可以利用局部Taylor公式计算极限。
  我们介绍利用局部Taylor公式计算函数极限:

例1 求极限$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}(\frac{1}{x}-\cot x)$
$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}(\frac{1}{x}-\cot x)=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x\cos x}{x^2\sin x}$$
$$=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x-\frac{1}{6}x^3-x(1-\frac{1}{2}x^2)+o(x^4)}{x^3}=-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$$

例2 求极限$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} [x-x^2\ln(x+\frac{1}{x})]$
$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} [x-x^2\ln(x+\frac{1}{x})]$$
$$=\lim\limits_{x \rightarrow 0} [x-x^2(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2}))]=\frac{1}{2}$$

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