利用局部Taylor公式计算极限

　　我们知道，函数极限是数学分析中重要的概念，除了传统计算函数极限的方法以外，某些函数还可以利用局部Taylor公式计算极限。
　　我们介绍利用局部Taylor公式计算函数极限：

例1　求极限$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}(\frac{1}{x}-\cot x)$
$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}(\frac{1}{x}-\cot x)=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x\cos x}{x^2\sin x}$$
$$=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x-\frac{1}{6}x^3-x(1-\frac{1}{2}x^2)+o(x^4)}{x^3}=-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$$

例2　求极限$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} [x-x^2\ln(x+\frac{1}{x})]$
$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} [x-x^2\ln(x+\frac{1}{x})]$$
$$=\lim\limits_{x \rightarrow 0} [x-x^2(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2}))]=\frac{1}{2}$$