利用级数计算极限

　　我们知道，级数是数学分析中重要的概念，除了应用传统计算以外，某些数列还可以利用级数计算极限。
　　我们介绍利用级数计算数列极限：

例1　求极限
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{5^n \cdot n!}{(2n)^n}$$
设
$$x_n=\frac{5^n \cdot n!}{(2n)^n}$$
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{5}{2(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{5}{2e}<1$$
根据比式判别法的极限形式
正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$收敛
从而
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{5^n \cdot n!}{(2n)^n}=0$$

例2　求极限
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot \cdots \cdot (n+10)}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot (3n-1)}$$
设
$$x_n=\frac{11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot \cdots \cdot (n+10)}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot (3n-1)}$$
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n+11}{3n+2}=\frac{1}{3}<1$$
根据比式判别法的极限形式
正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$收敛
从而
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot \cdots \cdot (n+10)}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot (3n-1)}=0$$

长知识了。

对的