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利用定积分计算极限

发布者: castelu | 发布时间: 2012-7-20 22:55| 查看数: 878| 评论数: 2|帖子模式

利用定积分计算极限

  我们知道,数列极限是数学分析中重要的概念,除了传统计算数列极限的方法以外,某些数列还可以利用定积分计算极限。
  我们介绍可以利用定积分计算极限的数列:
  根据定义,定积分是Riemann和的极限,如果要求计算的数列可以转换成Riemann和,则它可以通过定积分计算极限。

例1 求极限:
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}  \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}$$
  把此极限式化为某个积分和的极限式,并转化为计算定积分。为此作如下变形:
$$J=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{n}$$
不难看出,其中的和式是函数$f(x)=\frac{1}{1+x}$在区间$[0,1]$上的一个积分和(这里所取的是等分分割,$\Delta x_i=\frac{1}{n}$,$\xi_i=\frac{1}{i} \in [\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}]$,$i=1,2,\cdots,n$)。所以
$$J=\int_0^1 \frac{{\rm d}x}{1+x}=\ln(1+x)|_0^1=\ln2$$

例2 求极限:
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}$$
  把此极限式化为某个积分和的极限式,并转化为计算定积分。为此作如下变形:
$$J=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{i}{n})^2}} \cdot \frac{1}{n}$$
不难看出,其中的和式是函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$在区间$[0,1]$上的一个积分和(这里所取的是等分分割,$\Delta x_i=\frac{1}{n}$,$\xi_i=\frac{1}{i} \in [\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}]$,$i=1,2,\cdots,n$)。所以
$$J=\int_0^1 \frac{{\rm d}x}{\sqrt{1+x^2}}={\rm arcsinh}x|_0^1=\ln(1+\sqrt 2)$$

最新评论

jsliwenyun 发表于 2014-5-9 15:54:18
对于第一条的话自己的理解是用面积法双边夹,最后得出的结论如图。
第二条的话,当两个的指数是相同的话,就不能运用双边夹,所以用积分就可以。
2014-05-09 15.53.08.jpg
castelu 发表于 2014-5-9 23:56:37
对的

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