利用定积分计算极限

　　我们知道，数列极限是数学分析中重要的概念，除了传统计算数列极限的方法以外，某些数列还可以利用定积分计算极限。
　　我们介绍可以利用定积分计算极限的数列：
　　根据定义，定积分是Riemann和的极限，如果要求计算的数列可以转换成Riemann和，则它可以通过定积分计算极限。

例1　求极限：
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}  \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}$$
　　把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分。为此作如下变形：
$$J=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{n}$$
不难看出，其中的和式是函数$f(x)=\frac{1}{1+x}$在区间$[0,1]$上的一个积分和（这里所取的是等分分割，$\Delta x_i=\frac{1}{n}$，$\xi_i=\frac{1}{i} \in [\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}]$，$i=1,2,\cdots,n$）。所以
$$J=\int_0^1 \frac{{\rm d}x}{1+x}=\ln(1+x)|_0^1=\ln2$$

例2　求极限：
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}$$
　　把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分。为此作如下变形：
$$J=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{i}{n})^2}} \cdot \frac{1}{n}$$
不难看出，其中的和式是函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$在区间$[0,1]$上的一个积分和（这里所取的是等分分割，$\Delta x_i=\frac{1}{n}$，$\xi_i=\frac{1}{i} \in [\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}]$，$i=1,2,\cdots,n$）。所以
$$J=\int_0^1 \frac{{\rm d}x}{\sqrt{1+x^2}}={\rm arcsinh}x|_0^1=\ln(1+\sqrt 2)$$

对于第一条的话自己的理解是用面积法双边夹，最后得出的结论如图。
第二条的话，当两个的指数是相同的话，就不能运用双边夹，所以用积分就可以。

对的