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三角级数部分和公式

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发表于 2012-7-18 19:19:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
三角级数部分和公式

  我们知道,三角级数部分和函数$S_n(x)_1=\sum\limits_{k=1}^{n} \sin kx$与$S_n(x)_2=\sum\limits_{k=1}^{n} \cos kx$是常见的部分和函数。但是,它的求和结果有非常简单的表达式。
  我们计算$S_n(x)_1=\sum\limits_{k=1}^{n} \sin kx$与$S_n(x)_2=\sum\limits_{k=1}^{n} \cos kx$的表达式:
1.$S_n(x)_1=\sum\limits_{k=1}^{n} \sin kx$
$$\frac{2\sin \frac{x}{2}S_n(x)_1}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\sum\limits_{k=1}^{n} \sin kx}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n} 2\sin \frac{x}{2} \sin kx}{2\sin \frac{x}{2}}$$
$$=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n} (\cos(k-\frac{1}{2})x-\cos (k+\frac{1}{2})x)}{2\sin \frac{x}{2}}(三角函数积化和差公式)$$
$$=\frac{\cos \frac{x}{2}-\cos (n+\frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}$$
于是,得到
$$S_n(x)_1=\frac{\cos \frac{x}{2}-\cos (n+\frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}$$

2.$S_n(x)_2=\sum\limits_{k=1}^{n} \cos kx$
$$\frac{2\sin \frac{x}{2}S_n(x)_2}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\sum\limits_{k=1}^{n} \cos kx}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n} 2\sin \frac{x}{2} \cos kx}{2\sin \frac{x}{2}}$$
$$=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n} (\sin (k+\frac{1}{2})x-\sin (k-\frac{1}{2})x)}{2\sin \frac{x}{2}}(三角函数积化和差公式)$$
$$=\frac{\sin (n+\frac{1}{2})x-\sin \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}$$
于是,得到
$$S_n(x)_2=\frac{\sin (n+\frac{1}{2})x-\sin \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}$$
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发表于 2014-5-9 16:21:45 | 显示全部楼层
就第二题来讲,如果说乘以2cosx/2,是不是也可以?
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 楼主| 发表于 2014-5-9 23:56:58 | 显示全部楼层
对的
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