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交比

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-9 20:55| 查看数: 792| 评论数: 0|帖子模式

  在中心投影下线段的分比是要改变的。射影平面上经过中心投影后共线四点的交比保持不变。
  设$A$,$B$,$C$,$D \in \overline {\Pi}$共线,$A$,$B$为通常点,$C \ne B$。先将共线三点的简单比值$(A,B,C)$推广到$C$可以为无穷远点,当$C$为无穷远点时,规定$(A,B,C)=-1$。

定义1 设在$\overline {\Pi}$上四点$A$,$B$,$C$,$D$共线,$A$,$B$为两个不同的通常点,$C \ne B$,$D \ne A$,$B$。称$(A,B,C)$与$(A,B,D)$的比值为$A$,$B$,$C$,$D$的交比,记为$(A,B;C,D)$,即
$$(A,B;C,D)=\frac{A,B,C}{A,B,D}=\frac{AC}{CB}:\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB} \cdot \frac{DB}{AD}。$$

  若$A$,$B$,$C$各不相同,当$D=B$时,规定$(A,B;C,D)=0$。利用共线四点的交比,我们可以定义$\overline {\Pi}$上共点的四线的交比。设$l_i$($i=1,2,3,4$)是过点$O$的四直线,$l_1 \ne l_2$,任取一条不过$O$点的直线$l$,设$ll_i=A_i$($i=1,2,3,4$)。如果$(A_1,A_2;A_3,A_4)$有定义,则定义共点四线$l_i$($i=1,2,3,4$)的交比为
$$(l_1,l_2;l_3,l_4)=(A_1,A_2;A_3,A_4)。$$
  共点四线的交比只与四线的相互位置有关,与截线$l$的选取无关。因而,若$A_i$中有无穷远点,且$A_1$,$A_2$,$A_3$互不相同,$A_4 \ne A_1$,选截线$l'$与$l_i$均不平行,则可以将它们转化为通常点的交比,这样就推广了共线四点的交比的定义,$(l_1,l_2;l_3,l_4)=(A_1,A_2;A_3,A_4)=(A‘_1,A’_2;A‘_3,A’_4)$。
  利用对偶原理,可以得到下面的定理。

定理 在$\overline {\Pi}$上的共线四点$A$,$B$,$C$,$D$,其中$A$,$B$,$C$各不相同,且$D \ne A$,设$A[a_1,a_2,a_3]$,$B[b_1,b_2,b_3]$,$C[c_1,c_2,c_3]$,$D[d_1,d_2,d_3]$,且
$$(c_1,c_2,c_3)=\lambda_1 (a_1,a_2,a_3)+\mu_1 (b_1,b_2,b_3),$$
$$(d_1,d_2,d_3)=\lambda_2 (a_1,a_2,a_3)+\mu_2 (b_1,b_2,b_3),$$
  则
$$(A,B,C,D)=\frac{\mu_1}{\lambda_1}:\frac{\mu_2}{\lambda_2}。$$

  因为交比都可转化为通常点的交比,因而有如下性质。
(1)$(A,B;C,D)=(C,D;A,B)=(B,A;D,C)$;
(2)若$D \ne B$,则有
$$(B,A;C,D)=\frac{1}{(A,B;C,D)}=(A,B;D,C);$$
(3)$(A,B;C,D)=1-(A,C;B,D)$;
(4)设$O$是通常点,$l_i$($i=1,2,3,4$)是共点于$O$的四直线,用$\angle (l_i,l_j)$表示直线$l_i$绕$O$转到$l_j$的角度,则
$$(l_1,l_2;l_3,l_4)=\frac{\sin \angle (l_1,l_3)}{\sin \angle (l_3,l_2)}:\frac{\sin \angle (l_1,l_4)}{\sin \angle (l_4,l_2)}。$$

定义2 $\overline {\Pi}$上共线四点$A$,$B$,$C$,$D$,若$(A,B,C,D)=-1$,则称它们是调和点列,其中,$D$称为$A$,$B$,$C$的第四调和点,且称$D$是点$C$关于点偶$A$,$B$的调和共轭点

  由交比的性质(2),若$D$是$C$关于点偶$A$,$B$的调和共轭点,则$C$是$D$关于点偶$A$,$B$的调和共轭点,这时称$C$,$D$关于A$,$B$调和共轭
  又由性质(1),若$C$,$D$关于$A$,$B$调和共轭,则$A$,$B$关于$C$,$D$调和共轭,此时称点偶$C$,$D$与点偶$A$,$B$彼此调和分割
  设$A$,$B$,$C \in \overline {\Pi}$均是通常点,若$C$是线段$AB$(指不含无穷远点的部分)的中点,则从$(A,B;C,D)=-1$可推出$D$是直线$AB$上的无穷远点。因而线段$AB$的中点与直线$AB$的无穷远点是关于$A$,$B$调和共轭。
  类似地,若共点四线$l_i$($i=1,2,3,4$)满足$(l_1,l_2;l_3,l_4)=-1$,则称$l_i$($i=1,2,3,4$)为调和线束,$l_4$称为$l_1$,$l_2$,$l_3$的第四调和线
  设$O \in \overline {\Pi}$是通常点,$l_i$($i=1,2,3,4$)是共点于$O$的四条不同直线,若$l_3$是$l_1$与$l_2$所夹的一个角的角平分线,且$(l_1,l_2;l_3,l_4)=-1$,则由公式
$$(l_1,l_2;l_3,l_4)=\frac{\sin \angle (l_1,l_3)}{\sin \angle (l_3,l_2)}:\frac{\sin \angle (l_1,l_4)}{\sin \angle (l_4,l_2)}$$
  得到$l_4$是$l_1$与$l_2$所夹的另一个角的角平分线,即$l_1$,$l_2$所夹的两个角的角平分线关于$l_1$,$l_2$调和共轭。

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