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对偶原理

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-9 20:55| 查看数: 439| 评论数: 0|帖子模式

  既然直线也有齐次坐标,因此从齐次坐标的观点来看,$\overline {\Pi}$上的点与直线的地位对等。为了方便,两点$A$,$B$确定的直线用$AB$表示,两直线$l_1$,$l_2$的交点用$l_1l_2$表示。如果点$P$在直线$l$上,就说点$P$与直线$l$关联;如果直线$l$经过点$P$,就说直线$l$与$P$关联。
  设$\phi(点,线)$是$\overline {\Pi}$上一些点和一些直线的关联关系的一个命题,那么,把命题中的点都改写成直线,把直线都改写成点,并且保持关联关系不变及其他一切表述不变,则得到的命题$\phi(线,点)$称为原命题$\phi(点,线)$的对偶命题

原命题
对偶命题
(1)$\overline {\Pi}$上三点共线当且仅当它们的齐次坐标组成的行列式为$0$。(1)'$\overline {\Pi}$上三线共点当且仅当它们的齐次坐标组成的行列式为$0$。
(2)$\overline {\Pi}$上若三点$P_1$,$P_2$,$P_3$不共线,则三线$P_1P_2$,$P_2P_3$,$P_3P_1$不共点。(2)'$\overline {\Pi}$上若三线$l_1$,$l_2$,$l_3$不共点,则三点$l_1l_2$,$l_2l_3$,$l_3l_1$不共线。
(3)Desargues定理:在$\overline {\Pi}$上,如果两个三角形的对应顶点的连线共点,则它们的对应边的交点共线。(3)'Desargues逆定理:在$\overline {\Pi}$上,如果两个三角形的对应边的交点共线,则它们的对应顶点的连线共点。

  射影平面上的对偶原理:在$\overline {\Pi}$上,如果一个命题$\phi(点,线)$可以证明是一条定理,则它的对偶命题$\phi(线,点)$也可以证明是一条定理。

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