请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

数学之家» 数学之家 查看内容

文章内容

齐次坐标、射影平面

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-9 20:54| 查看数: 728| 评论数: 0|帖子模式

  在欧式平面$\Pi$上给定一仿射标架$\left\{O;e_1,e_2 \right\}$,那么任意点$P \in \Pi$有仿射坐标$(x,y)$。我们把与$x$,$y$由关系
$$x=\frac{x_1}{x_2},y=\frac{x_2}{x_3}$$
  联系的任何三个不全为零的实数$x_1$,$x_2$,$x_3$称为点$P$关于仿射标架$\left\{O;e_1,e_2 \right\}$的齐次(仿射)坐标,记为$P[x_1,x_2,x_3]$。若$[x_1,x_2,x_3]$是点$P$的齐次坐标,则对任意非零实数$\lambda$,$[\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3]$也是点$P$的齐次坐标,因而点$P$的齐次坐标不唯一。对于$P \in \Pi$,显然有$x_3 \ne 0$。点$P$的仿射坐标$(x,y)$称为点$P$的非齐次(仿射)坐标。对于齐次坐标$[x_1,x_2,0]$不表示$\Pi$上的任何点,我们把齐次坐标为$[x_1,x_2,0]$的“点”称为无穷远点。$\Pi$加进这些无穷远点后称为扩大的欧式平面,记为$\overline {\Pi}$。我们把扩大的欧式平面称为射影平面。平面$\Pi$上的点称为$\overline {\Pi}$的通常点

  扩大的欧式平面是射影平面的一种模型,下面再介绍两种。
(1)解析模型 在去掉原点$O$的欧式空间$R^3 - \left\{O \right\}$中定义一种关系$\sim$:$点P(x_1,y_1,z_1) \sim 点P'(y_1,y_2,y_3)$当且仅当存在非零实数$\lambda$,使$\vec {OP}=\lambda \vec {OP'}$,即$(x_1,y_2,x_3)=\lambda(y_1,y_2,y_3)$。很明显关系$\sim$是等价关系,$R^3 - \left\{O \right\}$关于等价关系$\sim$的等价类的集合构成射影平面的解析模型,记为$P^2$或$RP^2$。点$P(x_1,y_1,z_1)$的等价类记为$[x_1,x_2,x_3]$。直观上,$P^2$是把空间中过原点的直线视为一点,即$P^2=\left\{R^3中过原点的直线 \right\}=\left\{[x_1,x_2,x_3]|(x_1,x_2,x_3) \in R^3 - \left\{O \right\}\right\}=R^3 - \left\{O \right\} / \sim$。实际上,$[x_1,x_2,x_3]$是$\overline {\Pi}$上的点关于某一仿射标架的齐次坐标。因此,$\overline {\Pi}$上齐次坐标为$[x_1,x_2,x_3]$的点可理解为坐标为$(x_1,x_2,x_3)$的向量,共线的非零向量在$\overline {\Pi}$上表示同一点。
(2)几何模型 取定$R^3$中的一个球面,不妨取中心在原点,半径为$1$的单位球面$S^2$,在$S^2$上定义一种关系$\sim$:$P \sim P'$当且仅当$P$,$P'$是一对对径点。关系$\sim$是等价关系,$S^2$上关于$\sim$的等价类的集合就组成射影平面的几何模型,记为$S^2 / \sim$。

  由于每一对径点确定空间中过原点的唯一一条直线,因而本质上,$\overline {\Pi}$,$P^2$,$S^2 / \sim$是一样的。因为$\overline {\Pi}$更为直观,因此我们用$\overline {\Pi}$作为射影平面的模型。其中解析模型$P^2$更容易推广到高维的情形,即$n$维射影空间$P^n=\left\{R^{n+1}中过原点的直线 \right\}$。
  因为欧式平面$\Pi$上的任何直线都由方程
$$a_1x+a_2y+a_3=0(x_1^2+a_2^2 \ne 0)$$
  给出,并且任何这样的方程都是某一条直线的方程,所以$\Pi$上的任何直线在齐次坐标下都由方程
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0(x_1^2+a_2^2 \ne 0)$$
  给出,并且任何一个这样的方程都对应着$\Pi$上的一条直线。
  我们把无穷远点的几何轨迹称为无穷远直线,根据无穷远点的齐次坐标的特点,无穷远直线可由方程$x_3=0$来表示。
  于是,射影平面上,任何方程
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0,$$
  其中$a_1^2+a_2^2+a_3^2 \ne 0$,都是某条直线的方程。如果$a_1^2+a_2^2 \ne 0$,则称为射影直线。如果$a_1=a_2=0$,则
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0。$$
  表示无穷远直线。方程
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$$
  称为直线的普通方程。
  在射影平面上,任何两条直线都相交,这时因为线性方程组
$$\left\{ \begin{array}{l}
a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0,\\
b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3=0,
\end{array} \right.$$
  总有非零解。特别地,两条平行直线交于无穷远点。
  对于射影直线而言,如果其方程为
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0,$$
  则无穷远点$[-a_2,-a_1,0]$在此射影直线上,且是此射影直线上的唯一的无穷远点。实际上,$(-a_2):a_1$表示仿射坐标中的直线$a_1x+a_2y+a_3=0$的方向,因而直观上,射影直线就是欧式平面上的直线添加上此直线的方向所得到的。
  如果中心投影在两个射影平面$\overline {\Pi_0}$和$\overline {\Pi_1}$上进行,就能使中心投影成为一个双射$\tau:\overline {\Pi_0} \to \overline {\Pi_1}$,其中投影中心$O \notin \overline {\Pi_0} \cup \overline {\Pi_1}$。如果点$P \in \Pi_0$,使$OP$与$\Pi_1$交于点$P'$,则$\tau (P)=P'$;如果点$N \in \Pi_1$使$ON \parallel \Pi_0$,则$N$的原像为$\Pi_0$中与$ON$平行的直线$l$上添加的无穷远点;如果点$M \in \Pi_0$使$OM \parallel \Pi_1$,则$M$的像为$\Pi_1$中与$OM$平行的直线$l'$上添加的无穷远点;直线$\left\{M \in \Pi_0|OM \parallel \Pi_1 \right\}$上添加的无穷远点的像为直线$\left\{N \in \Pi_1|ON \parallel \Pi_0 \right\}$上的无穷远点。
  由于射影平面上的直线方程
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$$
  是三元一次齐次方程,所以$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$与$b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3=0$表示同一直线当且仅当存在非零实数$\lambda$,使$(a_1,a_2,a_3)=\lambda (b_1,b_2,b_3)$。于是我们可以用直线方程的系数$(a_1,a_2,a_3)$来表示直线,把$(a_1,a_2,a_3)$称为直线的齐次坐标
  方程
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$$
  表示直线$(a_1,a_2,a_3)$上的所有点,称为直线的点方程。如果让$(a_1,a_2,a_3)$变动,
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$$
  表示过固定点$[x_1,x_2,x_3]$的所有直线,故又称为点的线方程。经过定点的所有直线称为线束

最新评论

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2019-8-19 05:42 , Processed in 1.421875 second(s), 24 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部