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映射与变换

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-9 20:54| 查看数: 648| 评论数: 0|帖子模式

定义1 设$S$与$S'$是两个集合,对$S$中任一元素$a$,按某一法则在$S'$中有唯一的元素$a'$与之对应,我们称此法则(即对应关系)为$S$到$S'$的一个映射。记作
$$a:S \to S',$$
$$a \mapsto a'。$$
  或者记作$a'=\sigma (a)$,$a \in S$。$a'$称为$a$在映射$\sigma$下的,$a$称为$a'$在$\sigma$下的一个原像

  集合$S$到$S'$的两个映射$\sigma$和$\tau$称为相等,如果对于任意$a \in S$,都有$\sigma (a)=\tau (a)$。
  集合$S$到自身的一个映射叫做$S$的一个变换
  设$S=S'$,法则$I$定义为$a \mapsto a$,$a \in S$,则$I$是$S$到自身的一个变换,此映射称为恒等变换。

平面上的平移 设$S$是平面上所有点的集合,取定一个直角坐标系,给定一个向量$v=(a,b)$。令点$P(x,y)$与$P'(x',y')$的对应关系为$\vec {PP'}=v$,则有
$$\left\{ \begin{array}{l}
x'=x+a,\\
y'=y+b.
\end{array} \right.$$
  这是$S$到自身的一个变换,称为由$v$决定的平移。公式
$$\left\{ \begin{array}{l}
x'=x+a,\\
y'=y+b.
\end{array} \right.$$
  称为平面上的点的平移公式

注:在形式上平移公式与点的坐标变换中的移轴公式类似,但是含意却完全不同:点的平移公式中,$(x,y)$和$(x',y')$是不同的两个点在同一坐标系中的坐标;而移轴公式中,$(x,y)$和$(x',y')$是同一个点在两个不同的坐标系中的坐标。

平面上的旋转 $S$是平面上所有点的集合,在平面上取定一个直角坐标系$\left\{O;e_1,e_2 \right\}$,令点$P(x,y)$和$P'(x',y')$的对应关系$\tau$为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&-\sin \theta\\
\sin \theta&\cos \theta
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right),$$
  其中,$\theta$是一确定的实数,则$\tau$是$S$上的一个变换,称为平面绕原点的旋转,转角为$\theta$。上式称为平面上转角为$\theta$的旋转公式

平面上的反射 设$l$是平面上一条定直线,平面上任一点$P$关于$l$的对称点为$P'$。这种从$P$点到$P'$点的映射,称为平面上以$l$为轴的反射。若取$l$为$x$轴建立平面直角坐标系,设$P(x,y)$,$P'(x',y')$,则此反射表示为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&-1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)。$$

  设$\sigma$:$S \to S'$,我们用$\sigma (S)$表示$S$中的点在$\sigma$下的像的全体,显然有
$$\sigma (S) \subset S'。$$
  当$\sigma (S)=S'$时,则称$\sigma$是满射到上的。如果在映射$\sigma$下,$S$中不同元素的像也不同,则称$\sigma$是单射(或$1$-$1$的)。既是单射又是满射的映射称为双射(或$1$-$1$对应)。

定义2 设映射$\sigma_1$:$S \to S'$,$\sigma_2$:$S' \to S''$,则定义乘积映射$\sigma_2\sigma_1$:$S \to S''$为
$$(\sigma_2\sigma_1)(a)=\sigma_2(\sigma_1(a)),a \in S。$$

  映射的乘法不适合交换律。
  对于$S$到$S'$的双射$\sigma$,我们可以定义它的逆映射$\sigma^{-1}$:若$\sigma (a)=a' \in S'$,$a \in S$,则定义$\sigma^{-1}(a')=a$。显然,$\sigma^{-1}\sigma=I_S$:$S \to S$,$\sigma\sigma^{-1}=I_{S'}$:$S' \to S'$。
  易证,$1$-$1$对应的逆映射也是$1$-$1$对应,$1$-$1$对应的乘积也是$1$-$1$对应,映射的乘法满足结合律。

定义3 设$\sigma$:$S \to S$是一变换,若对$a \in S$,满足$\sigma (a)=a$,则称$a$是$\sigma$的不动点,$\left\{a \in S|\sigma (a)=a \right\}$称为$\sigma$的不动点集

  平面上的平移与旋转的乘积称为平面上的运动(即刚体运动),它是平面到自身上的$1$-$1$变换。
  平面上点变成点的变换也叫点变换
  一个线性点变换
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right),$$
  当它的变换矩阵$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)$的行列式$\det A \ne 0$时,称为满秩线性变换非退化线性变换。往后将看到,正交变换和仿射变换在代数上均表现为非退化的线性变换。

定义4 设$G=\left\{\sigma:S \to S|\sigma是S上的变换 \right\}$,如果$G$满足:
(1)恒等变换$I \in G$;
(2)若$\sigma_1 \in G$,$\sigma_2 \in G$,则$\sigma_1\sigma_2 \in G$;
(3)若$\sigma \in G$,则它的逆变换$\sigma^{-1} \in G$。
则称$G$为$S$的一个变换群

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