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不变量

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-9 20:53| 查看数: 643| 评论数: 0|帖子模式

  在直角坐标系下二次曲面(线)经过直角坐标变换后并没有改变其几何性质。从代数的角度看,经过直角坐标变换后,其方程的形式已可能变得面目全非,但决定曲面(线)几何特征的内蕴性一定不会改变,这就是曲面(曲线)的不变量。

定义 由曲面(曲线)方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称这个函数是该曲面(曲线)的一个正交不变量,简称不变量

  设二次曲面的方程为
$$F(x,y,z)=a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz$$
$$+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0$$
  或
$$F(x,y,z)=(\alpha^T,1)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\overline A&\delta\\
\delta^T&a_{44}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\alpha\\
1
\end{array}} \right)=0,$$
  记
$$I_1=a_{11}+a_{22}+a_{33},$$
$$I_2=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{12}&a_{22}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{13}\\
a_{13}&a_{33}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{22}&a_{23}\\
a_{23}&a_{33}
\end{array}} \right|,$$
$$I_3=\det \overline A,$$
$$I_4=\det A。$$

定理1 $I_1$,$I_2$,$I_3$,$I_4$是二次曲面的不变量。

  我们称方程
$$\det (\overline A-\lambda E)=-\lambda^3+I_1\lambda^2-I_2\lambda+I_3=0$$
  为二次曲面的特征方程,它的根称为二次曲面的特征根。由定理知道特征方程和特征根在任意直角坐标变换下都是不变的。设三个特征根为$\lambda_1$,$\lambda_2$,$\lambda_3$,则由根与方程的系数关系有
$$I_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,$$
$$I_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1,$$
$$I_3=\lambda_1\lambda_2\lambda_3。$$
  除了以上不变量外,我们还有以下半不变量的概念,我们记
$$K_1=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{14}\\
a_{14}&a_{44}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{22}&a_{24}\\
a_{24}&a_{44}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{33}&a_{34}\\
a_{34}&a_{44}
\end{array}} \right|,$$
$$K_2=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&a_{14}\\
a_{12}&a_{22}&a_{24}\\a_{14}&a_{24}&a_{44}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{13}&a_{14}\\
a_{13}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{34}&a_{44}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{22}&a_{23}&a_{24}\\
a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{24}&a_{34}&a_{44}
\end{array}} \right|。$$

定理2 在保持原点不动的直角坐标变换(即坐标旋转变换)下,$K_1$,$K_2$是不变量,称为半不变量。

  当$I_3=I_4=0$时,$K_2$是不变量;当$I_2=I_3=I_4=K_2=0$时,$K_1$是不变量。
  对于二次曲线的方程
$$F(x,y)=a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}$$
$$=(x,y,1)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{12}&a_{22}&a_{23}\\
a_{13}&a_{23}&a_{33}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
1
\end{array}} \right)=0,$$
  记
$$I_1=a_{11}+a_{22},$$
$$I_2=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{12}&a_{22}
\end{array}} \right|,$$
$$I_3=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{12}&a_{22}&a_{23}\\
a_{13}&a_{23}&a_{33}
\end{array}} \right|,$$
$$K_1=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{13}\\
a_{13}&a_{33}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{22}&a_{23}\\
a_{23}&a_{33}
\end{array}} \right|。$$
  我们同样可以得到下列定理。

定理1' $I_1$,$I_2$,$I_3$是二次曲线的不变量。

定理2' 当$I_2=I_3=0$时,$K_1$是二次曲线的不变量。

  由定理我们从五个简化方程出发,用不变量来描述它们。有下面的定理。

定理3 二次曲面用不变量表示它的简化方程如下:
(1)当$I_3 \ne 0$时,$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2+\frac{I_4}{I_3}=0$;
(2)当$I_3=0$,$I_4 \ne 0$时,$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2 \pm 2\sqrt {-\frac{I_4}{I_2}}z=0$;
(3)当$I_3=I_4=0$,$I_2 \ne 0$时,$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\frac{K_2}{I_2}=0$;
(4)当$I_2=I_3=I_4=0$,$K_2 \ne 0$时,$I_1x^2 \pm 2\sqrt {-\frac{K_2}{I_1}}y=0$;
(5)当$I_2=I_3=I_4=K_2=0$时,$I_1x^2+\frac{K_1}{I_1}=0$。
  其中,$\lambda_1$,$\lambda_2$,$\lambda_3$分别为二次曲面的非零特征根。

  同样,对二次曲线也有以下定理。

定理3' 二次曲线用不变量表示它的简化方程如下:
(1)当$I_2 \ne 0$时,$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\frac{I_3}{I_2}=0$;
(2)当$I_2=0$,$I_3 \ne 0$时,$I_1y^2 \pm 2\sqrt {-\frac{I_2}{I_1}}x=0$;
(3)当$I_2=I_3=0$时,$I_1y^2+\frac{K_1}{I_1}=0$。
其中,$\lambda_1$,$\lambda_2$分别是二次曲线的非零特征根。

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