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向量及其线性运算

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-9 20:45| 查看数: 489| 评论数: 0|帖子模式

  既有大小,又有方向的量称为向量(或矢量)。我们用符号$a$,$b$,$c$,$\cdots$表示。
  一个向量$a$可以用一有向线段$\vec {AB}$来表示,有向线段的长度$|\vec {AB}|$表示向量$a$的大小,从始点$A$到终点$B$的指向表示$a$的方向。
  向量$a$的大小称为向量的长度(或),记为$|a|$。
  长度为零的向量称为零向量,记为$0$。
  长度为$1$的向量称为单位向量
  如果一个向量能够由另一个向量经平行移动得到,则称这两个向量相等
  如果从同一个始点$A$在同一条直线上作等于向量$a$,$b$的有向线段$\vec {AB}$,$\vec {AC}$,其终点$B$,$C$分布在点$A$的同一侧(两侧),则称向量$a$,$b$同向反向)。同向或反向的两向量$a$,$b$称为平行的向量,记为$a \parallel b$。与非零向量$a$同向的单位向量记为$a^0$。
  与$a$的长度相等但反向的向量称为$a$的反向量负向量,记为$-a$。

定义1 对于向量$a$,$b$,作有向线段$\vec {AB}=a$,$\vec {BC}=b$,把$\vec {AC}$表示的向量$c$称为向量$a$与$b$的,记为$c=a+b$,即
$$\vec {AB}+\vec {BC}=\vec {AC}。$$

  由此公式表示的向量加法规则称为三角形法则
  注:从同一始点$O$作$\vec {OA}=a$,$\vec {OB}=b$,再以$OA$和$OB$为边作平行四边形$OACB$,则对角线$\vec {OC}$也表示向量$a$与$b$的和,这称为向量的平行四边形法则

  向量的加法满足以下规律:
(1)$a+b=b+a$(交换律);
(2)$(a+b)+c=a+(b+c)$(结合律);
(3)$a+0=a$;
(4)$a+(-a)=0$。
  其中,$a$,$b$,$c$为任意向量。

  作为加法的逆运算,可定义减法如下。

定义2 向量的减法$a-b=a+(-b)$。

  减法的几何意义,即$\vec {OA}-\vec {OB}=\vec {BA}$。
  由向量加法的三角形法则容易得到三角不等式
$$|a+b| \le |a|+|b|,$$
  其中,$a$,$b$为任意向量。其几何意义是,三角形两边之和大于第三边。这个不等式可以推广到任意有限多个向量和的情形:
$$|a+b+\cdots+l| \le |a|+|b|+\cdots+|l|。$$

定义3 实数$\lambda$与向量$a$的乘积$\lambda a$是一个向量,它的长度为$|\lambda a|=|\lambda| \cdot |a|$,它的方向当$\lambda>0$时与$a$相同,当$\lambda<0$时与$a$相反。当$\lambda=0$或$a=0$时,$\lambda a=0$。

  设$a \ne 0$,因为$|a|^{-1}a$与$a$同向,且
$$||a|^{-1}a|=|a|^{-1}|a|=1,$$
  所以$a^0=|a|^{-1}a$,这称为把$a$单位化
  对于任意的向量$a$,$b$和任意实数$\lambda$,$\mu$,数量与向量的乘法满足以下规律:
(1)$\lambda (\mu a)=(\lambda \mu)a$;
(2)$(\lambda+\mu)a=\lambda a+\mu a$;
(3)$\lambda (a+b)=\lambda a+\lambda b$。

  向量的加法和数量与向量乘法统称为向量的线性运算
  设$a_i$($i=1,2,\cdots,n$)是一组向量,$k_i$($i=1,2,\cdots,n$)是一组实数,则$\sum\limits_{i=1}^n k_ia_i$是一个向量,称它为向量组$a_i$($i=1,2,\cdots,n$)的一个线性组合

定义4 平行于同一直线(平面)的向量组称为共线的(共面的)向量组。

  两个向量共线等价于它们平行,因而共线向量组实质上是一组互相平行的向量。
  零向量与任意向量共线,共线的向量组一定共面;若$a=\lambda b$或$b=\mu a$,则$a$与$b$共线。

定义5 若对于向量组$a_i$($i=1,2,\cdots,n$),存在不全为$0$的实数$k_1$($i=1,2,\cdots,n$),使
$$\sum\limits_{i=1}^n k_ia_i=0,$$
  则称向量组$a_i$($i=1,2,\cdots,n$)线性相关,否则称向量组线性无关

命题1 两个向量$a$,$b$共线的充要条件是$a$,$b$线性相关。

推论 若$a$,$b$共线且$a \ne 0$,则存在唯一的实数$\lambda$使得$b=\lambda a$。

命题2 三向量$a$,$b$,$c$共面(不共面)的充要条件是$a$,$b$,$c$线性相关(线性无关)。

定理1 设$a$,$b$不共线,则$c$与$a$,$b$共面的充要条件是存在唯一的一对实数$\lambda$,$\mu$使得
$$c=\lambda a+\mu b。$$

定理2 设$a$,$b$,$c$不共面,则对空间中任一向量$d$均存在唯一的数组$(\lambda,\mu,\gamma)$使得
$$d=\lambda a+\mu b+\gamma c。$$

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