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辛空间

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-9 20:29| 查看数: 1349| 评论数: 0|帖子模式

  辛空间有下面两点性质:
1、辛空间$(V,f)$中一定能找到一组基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$,$\epsilon_{-1}$,$\epsilon_{-2}$,$\cdots$,$\epsilon_{-n}$满足
$$f(\epsilon_i,\epsilon_{-1})=1,1 \le i \le n,$$
$$f(\epsilon_i,\epsilon_j)=0,-n \le i,j \le n,i+j \ne 0。$$
  这样的基称为$(V,f)$的辛正交基。还可看出辛空间一定是偶数维的。
2、任一$2n$级非退化反对称矩阵$K$可把一个数域$P$上$2n$维空间$V$化成一个辛空间,且使$K$为$V$的某基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$,$\epsilon_{-1}$,$\epsilon_{-2}$,$\cdots$,$\epsilon_{-n}$下的度量矩阵。又此辛空间在某辛正交基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$,$\epsilon_{-1}$,$\epsilon_{-2}$,$\cdots$,$\epsilon_{-n}$下的度量矩阵为
$$J=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
O&E\\
-E&O
\end{array}} \right)_{2n \times 2n},$$
  故$K$合同于$J$。即任一$2n$级非退化反对称矩阵皆合同于$J$。

  两个辛空间$(V_1,f_1)$及$(V_2,f_2)$,若有$V_1$到$V_2$的作为线性空间的同构$\mathcal K$,它满足
$$f_1(u,v)=f_2(\mathcal Ku,\mathcal Kv),$$
则称$\mathcal K$是$(V_1,f_1)$到$(V_2,f_2)$的辛同构。
  $(V_1,f_1)$到$(V_2,f_2)$的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把$(V_1,f_1)$的一组辛正交基变成$(V_2,f_2)$的辛正交基。
  两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数。
  辛空间$(V,f)$到自身的,辛同构称为$(V,f)$上的辛变换。取定$(V,f)$的一组辛正交基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$,$\epsilon_{-1}$,$\epsilon_{-2}$,$\cdots$,$\epsilon_{-n}$,$V$上的一个线性变换$\mathcal K$,在该基下的矩阵为$K$,
$$K=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B\\
C&D
\end{array}} \right),$$
  其中$A$,$B$,$C$,$D$皆为$n \times n$方阵。则$\mathcal K$是辛变换当且仅当$K'JK=J$,亦即当且仅当下列条件成立:
$$A'C=C'A,B'D=D'B,A'D-C'B=E。$$
  且易证,$|K| \ne 0$,及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换。
  设$(V,f)$是辛空间,$u$,$v \in V$,满足$f(u,v)=0$,则称$u$,$v$为辛正交的。
  $W$是$V$的子空间,令
$$W^{\bot}=\left\{u \in V|f(u,w)=0,\forall w \in W \right\}。$$
$W^{\bot}$显然是$V$的子空间,称为$W$的辛正交补空间。

定理1 $(V,f)$是辛空间,$W$是$V$的子空间,则
$$\dim W^{\bot}=\dim V-\dim W。$$

定义1 $(V,f)$为辛空间,$W$为$V$的子空间。若$W \subset W^{\bot}$,则称$W$为$(V,f)$的迷向子空间;若$W = W^{\bot}$,即$W$是极大的(按包含关系)迷向子空间,也称它为拉格朗日子空间;若$W \cap W^{\bot}=\left\{0 \right\}$,则称$W$为$(V,f)$的辛子空间。

  例如,设$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$,$\epsilon_{-1}$,$\epsilon_{-2}$,$\cdots$,$\epsilon_{-n}$是$(V,f)$的辛正交基,则$L(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_k)$是迷向子空间。$L(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)$是极大迷向子空间,即拉格朗日子空间。$L(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_k,\epsilon_{-1},\epsilon_{-2},\cdots,\epsilon_{-k})$是辛子空间。
  对辛空间$(V,f)$的子空间$U$,$W$。通过验证,并利用定理1,可得下列性质:
(1)$(W^{\bot})^{\bot}=W$,
(2)$U \subset W \Rightarrow W^{\bot} \subset U^{\bot}$,
(3)若$U$是辛子空间,则$V=U \oplus U^{\bot}$,
(4)若$U$是迷向子空间,则$\dim U \le \frac{1}{2} \dim V$,
(5)若$U$是拉格朗日子空间,则$\dim U = \frac{1}{2} \dim V$。

定理2 设$L$是辛空间$(V,f)$的拉格朗日子空间,$(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)$是$L$的基,则它可扩充为$(V,f)$的辛正交基。

推论 设$W$是$(V,f)$的迷向子空间,$\left\{\epsilon_1,\cdots,\epsilon_k \right\}$是$W$的基,则它可扩充成$(V,f)$的辛正交基。

  对于辛正交基$U$,$f|U$也是非退化的。同样$f|U^{\bot}$也非退化。由定理1还有$V=U \oplus U^{\bot}$。

定理3 辛空间$(V,f)$的辛子空间$(U,f|U)$的一组辛正交基可扩充成$(V,f)$的辛正交基。

定理4 令$(V,f)$为辛空间,$U$和$W$是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间,则有$(V,f)$的辛变换把$U$变成$W$。

  辛空间$(V,f)$的两个子空间$U$及$V$之间的(线性)同构$\mathcal K$若满足
$$f(u,v)=f(\mathcal Ku,\mathcal Kv),\forall u \in W,v \in V$$
  则称$\mathcal K$为$V$与$W$间的等距。下面的命题以定理4为特例

Witt定理 辛空间$(V,f)$的两个子空间$V$,$W$之间若有等距,则此等距可扩充成$(V,f)$的一个辛变换。

  下面是辛变换的特征值的一些性质。
  $\mathcal K$是辛空间$(V,f)$上的辛变换,$\mathcal K$的行列式为$1$。
  取定$(V,f)$的辛正交基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$,$\epsilon_{-1}$,$\epsilon_{-2}$,$\cdots$,$\epsilon_{-n}$。  设$\mathcal K$在该基下矩阵为$K$,这时有$K'JK=J$。

定理5 设$\mathcal K$是$2n$维辛空间中的辛变换,$K$是$\mathcal K$在某辛正交基下矩阵。则它的特征多项式$f(\lambda)=|\lambda I-K|$满足$f(\lambda)=\lambda^{2n}f(\frac{1}{\lambda})$。若设
$$f(\lambda)=a_0\lambda^{2n}+a_1\lambda^{2n-1}+\cdots+a_{2n-1}\lambda+a_{2n},$$
  则$a_i=a_{2n-i}$,$i=0,1,\cdots,n$。

  由定理5可知,辛变换$\mathcal K$的特征多项式$f(\lambda)$的(复)根$\lambda$与$\frac{1}{\lambda}$是同时出现的,且具有相同的重数。它在$P$中的特征值也如此。又$|K|$等于$f(\lambda)$的所有(复)根的积,而$|K|=1$,故特征值$-1$的重数为偶数。又不等于$\pm 1$的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数,因此特征值为$+1$的重数也为偶数。

定理6 设$\lambda_i$,$\lambda_j$是数域$P$上辛空间$(V,f)$上辛变换$\mathcal K$在$P$中的特征值,且$\lambda_i\lambda_j \ne 1$。设$V_{\lambda_i}$,$V_{\lambda_j}$是$V$中对应于特征值$\lambda_i$及$\lambda_j$的特征子空间。则$\forall u \in V_{\lambda_i}$,$v \in V_{\lambda_j}$。有$f(u,v)=0$。即$V_{\lambda_i}$与$V_{\lambda_j}$是辛正交的。特别地,当$\lambda_i \ne \pm 1$时$V_{\lambda_i}$是迷向子空间。

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