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酉空间

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-9 20:16| 查看数: 1027| 评论数: 0|帖子模式

  欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的。酉空间实际就是复数域上的欧氏空间。

定义 设$V$是复数域上的线性空间,在$V$上定义了一个二元复函数,称为内积,记作$(\alpha,\beta)$,它具有以下性质:
1)$(\alpha,\beta)=\overline {(\beta,\alpha)}$,这里$\overline {(\beta,\alpha)}$是$(\beta,\alpha)$的共轭复数;
2)$(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)$;
3)$(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$;
4)$(\alpha,\alpha)$是非负实数,且$(\alpha,\alpha)=0$当且仅当$\alpha=0$。
  这里$\alpha$,$\beta$,$\gamma$是$V$中任意的向量,$k$为任意复数,这样的线性空间称为酉空间。

  在线性空间$C^n$中,对向量
$$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$$
  定义内积为
$$(\alpha,\beta)=a_1\overline b_1+a_2\overline b_2+\cdots+a_n\overline b_n。$$
  显然,内积满足定义中的条件。这样,$C^n$就成为一个酉空间。

  由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似,有一套平行的理论。
  首先由内积的定义可得到
1)$(\alpha,k\beta)=\overline k(\alpha,\beta)$。
2)$(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$。
  和在欧氏空间中一样,因为$(\alpha,\alpha) \ge 0$,故可定义向量的长度。
3)$\sqrt{(\alpha,\alpha)}$叫做向量$\alpha$的长度,记为$|\alpha|$。
4)柯西-布涅柯夫斯基不等式仍然成立,即对任意的向量$\alpha$,$\beta$有
$$|(\alpha,\beta)| \le |\alpha||\beta|,$$
  当且仅当$\alpha$,$\beta$线性相关时,等号成立。
  注意:酉空间中的内积$(\alpha,\beta)$一般是复数,故向量之间不易定义夹角但我们仍引入
5)向量$\alpha$,$\beta$,当$(\alpha,\beta)=0$时称为正交或相互垂直。
  在$n$维酉空间中,同样可以定义正交基和标准正交基,并且关于标准正交基也有下述一些重要性质;
6)任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化,并扩充成为一组标准正交基。
7)对$n$维复矩阵$A$,用$\overline A$表示以$A$的元素的共轭复数作元素的矩阵。如$A$满足$\overline A'A=A\overline A'=E$,就叫做酉矩阵。它的行列式的绝对值等于$1$。
  两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。
  类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵,可以引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵。它们也分别具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质,我们把它列举在下面;
8)酉空间$V$的线性变换$\mathcal A$,如果满足
$$(\mathcal A\alpha,\mathcal A\beta)=(\alpha,\beta),$$
  就称为$V$的一个酉变换。酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵。
9)如矩阵$A$满足
$$\overline A'=A,$$
  则叫埃尔米特(Hermite)矩阵。在酉空间$C^n$中令
$$\mathcal A \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right) =A \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right),$$
  则
$$(\mathcal A\alpha,\beta)=(\alpha,\mathcal A\beta)。$$
$\mathcal A$也是对称变换。
10)$V$是酉空间,$V_1$是子空间,$V_1^{\bot}$是$V_1$的正交补,则$V=V_1 \oplus V_1^{\bot}$。
  又设$V_1$是对称变换的不变子空间,则$V_1^{\bot}$也是不变子空间。
11)埃尔米特矩阵的特征值为实数。它的属于不同特征值的特征向量必正交。
12)若$A$是埃尔米特矩阵,则有酉矩阵$C$,使
$$C^{-1}AC=\overline C'AC$$
  是对角形矩阵。
13)设$A$为埃尔米特矩阵,二次齐次函数
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_i\overline x_j=X'A\overline X$$
  叫做埃尔米特二次型。必有酉矩阵$C$,当$X=CY$时
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=d_1y_1\overline y_1+d_2y_2\overline y_2+\cdots+d_ny_n\overline y_n。$$

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