在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法，统称为线性运算。如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许多问题中（其中包括几何问题）有着特殊的地位，因此有必要引入度量的概念，
　　在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积表示，而且向量的内积有明显的代数性质。所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。

定义1　设$V$是实数域$R$上一线性空间，在$V$上定义了一个二元实函数，称为内积，记作$(\alpha,\beta)$，它具有以下性质：
1）$(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$；
2）$(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)$；
3）$(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$；
4）$(\alpha,\alpha) \ge 0$，当且仅当$\alpha=0$时$(\alpha,\alpha)=0$。
　　这里$\alpha$，$\beta$，$\gamma$是$V$中任意的向量，$k$是任意实数，这样的线性空间$V$称为欧几里得空间。

　　在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限维的。
　　几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间。
　　下面来看欧几里得空间的一些基本性质。
　　首先，定义中条件1）表明内积是对称的。因此，与2），3）相当地就有
2'）$(\alpha,k\beta)=(k\beta,\alpha)=k(\beta,\alpha)=k(\alpha,\beta)$。
3'）$(\alpha,\beta+\gamma)=(\beta+\gamma,\alpha)=(\beta,\alpha)+(\gamma,\alpha)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$。
　　由条件4），有$(\alpha,\alpha) \ge 0$。所以对于任意的向量$\alpha$，$\sqrt{(\alpha,\alpha)}$是有意义的。在几何空间中，向量$\alpha$的长度为$\sqrt{(\alpha,\alpha)}$。类似地，我们在一般的欧几里得空间中引进：

定义2　非负实数$\sqrt{(\alpha,\alpha)}$称为向量$\alpha$的长度，记为$|\alpha|$。
　　显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：
$$|k\alpha|=|k||\alpha|，$$
　　这里，$k \in R$，$\alpha \in V$。

　　长度为$1$的向量称为单位向量。如果$\alpha \ne 0$，由上式，向量
$$\frac{1}{|\alpha|}\alpha$$
　　就是一个单位向量。用向量$\alpha$的长度去除向量$\alpha$，得到一个与$\alpha$成比例的单位向量，通常称为把$\alpha$单位化。
　　在解析几何中，向量$\alpha$，$\beta$的夹角$<\alpha,\beta>$的余弦可以通过内积来表示：
$$\cos <\alpha,\beta>=\frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha||\beta|}。$$
　　为了在一般的欧几里得空间中利用上式引入夹角的概念，我们需要证明不等式
$$|\frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha||\beta|}| \le 1。$$
　　这就是所谓的柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量$\alpha$，$\beta$有
$$|(\alpha,\beta)| \le |\alpha||\beta|。$$
　　当且仅当$\alpha$，$\beta$线性相关时，等号才成立。

定义3　非量向量$\alpha$，$\beta$的夹角$<\alpha,\beta>$规定为
$$<\alpha,\beta>=\arccos \frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha||\beta|}，0 \le <\alpha,\beta> \le \pi。$$
　　根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，我们有三角形不等式
$$|\alpha+\beta| \le |\alpha|+|\beta|。$$

定义4　如果向量$\alpha$，$\beta$的内积为零，即
$$(\alpha,\beta)=0，$$
　　那么$\alpha$，$\beta$称为正交或相互垂直，记为$\alpha \bot \beta$。

　　显然，这里正交的定义与解析几何中对于正交的说法是一致的。两个非零向量正交的充分必要条件是它们的夹角为$\frac{\pi}{2}$。
　　由定义立即看出，只有零向量才与自己正交。
　　在欧几里得空间中同样有勾股定理，即当$\alpha$，$\beta$正交时，
$$|\alpha+\beta|^2=|\alpha|^2+|\beta|^2。$$
　　不难把勾股定理推广到多个向量的情形，即如果向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_m$两两正交，那么
$$|\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_m|^2=|\alpha_1|^2+|\alpha_2|^2+\cdots+|\alpha_m|^2。$$
　　在以上的讨论中，我们对空间的维数没有作任何限制。从现在开始，我们假定空间是有限维的。
　　设$V$中一个$n$维欧几里得空间，在$V$中取一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，对$V$中任意两个向量
$$\alpha=x_1\epsilon_1+x_2\epsilon_2+\cdots+x_n\epsilon_n，$$
$$\beta=y_1\epsilon_2+y_2\epsilon_2+\cdots+y_n\epsilon_n，$$
　　由内积的性质得
$$(\alpha,\beta)=(x_1\epsilon_1+x_2\epsilon_2+\cdots+x_n\epsilon_n,y_1\epsilon_2+y_2\epsilon_2+\cdots+y_n\epsilon_n)$$
$$=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (\epsilon_i,\epsilon_j)x_iy_j。$$
　　令
$$a_{ij}=(\epsilon_i,\epsilon_j)（i,j=1,2,\cdots,n），$$
　　显然
$$a_{ij}=a_{ji}。$$
　　于是
$$(\alpha,\beta)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_iy_j。$$
　　利用矩阵，$(\alpha,\beta)$还可以写成
$$(\alpha,\beta)=X'AY，$$
　　其中
$$X= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right) ，Y= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{array}} \right) $$
　　分别是$\alpha$，$\beta$的坐标，而矩阵
$$A=(a_{ij})_{n n}$$
　　称为基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$的度量矩阵。上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按$(\alpha,\beta)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_iy_j$或$(\alpha,\beta)=X'AY$来计算，因而度量矩阵完全确定了内积。
　　设$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_n$是空间$V$的另外一组基，而由$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$到$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_n$的过渡矩阵为$C$，即
$$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)C。$$
　　于是不难算出，基$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_n$的度量矩阵
$$B=(b_{ij})=(\eta_i,\eta_j)=C'AC。$$
　　这就是说，不同基的度量矩阵是合同的。
　　根据条件4），对于非零向量$\alpha$，即
$$X \ne \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}} \right) ，$$
　　有
$$(\alpha,\alpha)=X'AX>0，$$
因此，度量矩阵是正交的。
　　反之，给定一个$n$级正交矩阵$A$及$n$维实线性空间$V$的一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$。可以规定$V$上内积，使它称为欧几里得空间，并且基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$的度量矩阵为$A$。
　　欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间。
　　欧几里得空间简称为欧式空间。