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线性变换

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-9 19:40| 查看数: 859| 评论数: 0|帖子模式

  线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象。我们认识客观事物,固然要弄清它们单个的和总体的性质,但是更重要的是研究它们之间的各种各样的联系。在线性空间中,事物之间的联系就反映为线性空间的映射。线性空间$V$到自身的映射通常称为$V$的一个变换。
  下面如果不特别声明,所考虑的都是某一固定的数域$P$上的线性空间。

定义 线性空间$V$的一个变换$\mathcal A$称为线性变换,如果对于$V$中任意的元素$\alpha$,$\beta$和数域$P$中任意数$k$,都有
$$\mathcal A(\alpha+\beta)=\mathcal A(\alpha)+\mathcal A(\beta),$$
$$\mathcal A(k\alpha)=k\mathcal A(\alpha)。$$
  以后我们一般用花体拉丁字母$\mathcal A$,$\mathcal B$,$\cdots$代表$V$的变换,$\mathcal A(\alpha)$或$\mathcal A\alpha$代表元素$\alpha$在变换$\mathcal A$下的像。
  定义中等式
$$\mathcal A(k\alpha)=k\mathcal A(\alpha)$$
  所表示的性质,有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法。
  下面我们来看几个简单的例子,它们表明线性变换这个概念是有丰富的内容的。
  平面上的向量构成实数域上的二维线性空间。把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转$\theta$角,就是一个线性变换,我们用$\phi_\theta$表示。如果平面上一个向量$\alpha$在直角坐标系下的坐标是$(x,y)$,那么像$\phi_\theta(\alpha)$的坐标,即$\alpha$旋转$\theta$角之后的坐标$(x',y')$是  按照公式
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x'\\ y' \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \cos \theta&-\sin \theta\\ \sin \theta&\cos \theta \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) $$
  来计算的。同样地,空间中绕轴的旋转也是一个线性变换。
  设$\alpha$是几何空间中一固定的非零向量,把每个向量$\zeta$变到它在$\alpha$上的内射影的变换也是一个线性变换,以$\Pi_{\alpha}$表示它。
用公式表示就是
$$\Pi_{\alpha}(\zeta)=\frac{(\alpha,\zeta)}{(\alpha,\alpha)}\alpha。$$
  这里$(\alpha,\zeta)$,$(\alpha,\alpha)$表示内积。
  线性空间$V$中的恒等变换或称单位变换$\mathcal \epsilon$,即
$$\mathcal \epsilon(\alpha)=\alpha(\alpha \in V),$$
  以及零变换$\mathcal O$,即
$$\mathcal O(\alpha)=0(\alpha \in V)$$
  都是线性变换。
  设$V$是数域$P$上的线性空间,$k$是$P$中某个数,定义$V$的变换如下:
$$\alpha \to k\alpha,\alpha \in V。$$
  不难证明,这是一个线性变换,称为由数$k$决定的数乘变换,可用$\mathcal K$表示。显然,当$k=1$时,我们便得恒等变换,当$k=0$时,便得零变换。
  在线性空间$P[x]$或者$P[x]_n$中,求微商是一个线性变换。这个变换通常用$\mathcal D$代表,即
$$\mathcal D(f(x))=f'(x)。$$
  定义在闭区间$[a,b]$上的全体连续函数组成实数域上一线性空间,以$C(a,b)$代表。在这个空间中,变换
$$\mathcal T (f(x))=\int_a^x f(t)dt$$
  是一线性变换。

  不难直接从定义推出线性变换的以下简单性质:
1、设$\mathcal A$是$V$的线性变换,则$\mathcal A(0)=0$,$\mathcal A(-\alpha)=-\mathcal A(\alpha)$。
2、线性变换保持线性组合与线性关系式不变。换句话说,如果$\beta$是$\alpha_1$,$\alpha_2$,$\cdots$,$\alpha_r$的线性组合:
$$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r,$$
  那么经过线性变换$\mathcal A$之后,$\mathcal A(\beta)$是$\mathcal A(\alpha_1)$,$\mathcal A(\alpha_2)$,$\cdots$,$\mathcal A(\alpha_r)$同样的线性组合:
$$A(\beta)=k_1\mathcal A(\alpha_1)+k_2\mathcal A(\alpha_2)+\cdots+k_r\mathcal A(\alpha_r)。$$
  又如果$\alpha_1$,$\alpha_2$,$\cdots$,$\alpha_r$之间也有同样的关系
$$k_1\mathcal A(\alpha_1)+k_2\mathcal A(\alpha_2)+\cdots+k_r\mathcal A(\alpha_r)=0。$$
  以上两点,根据定义不难验证,由此即得
3、线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
  但应该注意,3的逆是不对的,线性变换可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组。例如零变换就是这样。

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