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【原创】运用多项式性质巧解矩阵问题

发布者: castelu | 发布时间: 2016-3-28 23:58| 查看数: 909| 评论数: 0|帖子模式

运用多项式性质巧解矩阵问题

前言:
  矩阵问题是线性代数中的常见问题。从代数结构上说,矩阵环与多项式环的构造类似,我们可以将矩阵问题转化为多项式问题,运用多项式的性质,较容易地解决矩阵问题。



例题:
  矩阵$A$满足$A^3+E=2A$,其中$E$为单位矩阵。试证:矩阵$2A^2+A-E$可逆。

解答:
  把矩阵看成多项式环$\mathbb{P}[x]$中关于未定元$x$的多项式,并进行因式分解
$$f(x)=x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)$$
$$g(x)=2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)$$
  显然,这两个多项式是互素的
$$\exists u(x), v(x) \in \mathbb{P}[x]$$
$$u(x)(x-1)(x^2+x-1)+v(x)(2x-1)(x+1)=1$$
  将$A$代入,得到
$$u(A)(A-E)(A^2+A-E)+v(A)(2A-E)(A+E)=E$$
  所以,$(2A-E)(A+E)$可逆,并且
$$[(2A-E)(A+E)]^{-1}=v(A)$$
  而$v(x)$可以通过辗转相除法得到

点评:
  该方法将矩阵环的问题转化为多项式环的问题,并且轻松求得逆矩阵。



总结:
  恰当地在不同代数结构中转换思路,运用合适的性质,可以快速地解决一些难题。

作者:$Castelu$

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