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【原创】三论积分因子法

发布者: castelu | 发布时间: 2016-3-28 23:58| 查看数: 1169| 评论数: 0|帖子模式

三论积分因子法

前言:
  积分因子法是常微分方程中将变量分离方程、线性微分方程和齐次微分方程转化为恰当方程的方法。我们可以运用这种思想,较容易地解决数学分析中的一些问题。



例题1:
  设$f(x)$在$\left(0,+\infty\right)$有连续的导函数,已知:$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)+f'(x)=0$,证明:$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0$。

解答1:
$$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{e^xf(x)}{e^x}=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{e^x(f(x)+f'(x))}{e^x}=\lim\limits_{x \to +\infty}(f(x)+f'(x))=0$$

点评1:
  $e^x$是微分方程$f(x)+f'(x)=0$的积分因子,计算过程中运用了$L'Hospital$法则,注意到它是$\frac{*}{\infty}$型,满足条件。



例题2:
  设$f'(x)$在$\left[a,b\right]$上连续,$f(x)$在$\left(a,b\right)$内二阶可导,$f(a)=f(b)=0$,$\int_a^b f(x)dx=0$,求证:
(1)在$\left(a,b\right)$内至少有一点$\xi$,使得$f'(\xi)=f(\xi)$;
(2)在$\left(a,b\right)$内至少有一点$\eta$,$\eta \ne \xi$,使得$f''(\eta)=f(\eta)$。

解答2:
(1)令
$$F(x)=e^{-x}f(x)$$
  于是
$$F'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x)),F(a)=F(b)=0$$
  根据$Rolle$定理
$$\exists \xi \in \left(a,b\right),F'(\xi)=0$$
  所以
$$f'(\xi)=f(\xi)$$
(2)由
$$\int_a^b f(x)dx=0$$
  根据积分第一中值定理
$$\exists x_0 \in \left(a,b\right),f(x_0)=0$$
  令
$$G(x)=e^xf(x),G'(x)=e^x(f'(x)+f(x)),G(a)=G(b)=G(x_0)=0$$
  根据$Rolle$定理
$$\exists \xi_1 \in \left(a,x_0\right),\xi_2 \in \left(x_0,b\right),G'(\xi_1)=G'(\xi_2)=0$$
  所以
$$f'(\xi_1)+f(\xi_1)=0,f'(\xi_2)+f(\xi_2)=0$$
  再令
$$H(x)=e^{-x}(f'(x)+f(x)),H'(x)=e^{-x}(f''(x)-f(x)),H(\xi_1)=H(\xi_2)=0$$
  根据$Rolle$定理
$$\exists \eta \in \left(\xi_1,\xi_2\right),H'(\eta)=0$$
  所以
$$f''(\eta)=f(\eta)$$

点评2:
  $e^{-x}$是微分方程$f''(x)-f(x)=0$的积分因子,$e^x$是微分方程$f'(x)+f(x)=0$的积分因子,$e^{-x}$是微分方程$f'(x)-f(x)=0$的积分因子,证明过程中多次运用了积分因子法。



例题3:
  设$f(x)$,$g(x)$,$\phi(x)$均为$\left[a,b\right]$上的连续函数,且$g(x)$为单调递增的,$\phi(x) \ge 0$,同时满足对于任意$x \in \left[a,b\right]$,有
$$f(x) \le g(x)+\int_a^x \phi(t)f(t)dt$$
  证明:对于任意的$x \in \left[a,b\right]$,都有
$$f(x) \le g(x)e^{\int_a^x f(s)ds}$$

解答3:
  设
$$F(x)=\int_a^x \phi(t)f(t)dt$$
  则
$$F'(x)=\phi(x)f(x) \le \phi(x)g(x)+\phi(x)F(x)$$
$$F'(x)-\phi(x)F(x) \le \phi(x)g(x)$$
$$\left[F(x)e^{-\int_a^x \phi(t)dt}\right]' \le \phi(x)g(x)e^{-\int_a^x \phi(t)dt}$$
$$F(x)e^{-\int_a^x \phi(t)dt} \le \int_a^x \phi(t)g(t)e^{-\int_a^t \phi(s)ds} dt$$
$$F(x) \le \int_a^x \phi(t)g(t)e^{\int_t^x \phi(s)ds} dt$$
$$
\begin{eqnarray*}
f(x) &\le& g(x)+F(x)\\
&\le&g(x)+\int_a^x \phi(t)g(t)e^{\int_t^x \phi(s)ds} dt\\
&\le&g(x)+g(x)\int_a^x \phi(t)e^{\int_t^x \phi(s)ds} dt\\
&=&g(x)+g(x)\left[-e^{\int_t^x \phi(s)ds}\right]_{t=a}^{t=x}\\
&=&g(x)+g(x)\left[-1+e^{\int_a^x \phi(s)ds}\right]\\
&=&g(x)e^{\int_a^x f(s)ds}
\end{eqnarray*}
$$

点评3:
  $e^{-\int_a^x \phi(t)dt}$是微分方程$F'(x)-\phi(x)F(x)=0$的积分因子,证明过程中运用了积分第二中值定理,积分因子法巧妙回避了在不等式形式下难以求解微分方程的麻烦。



总结:
  本文列举了三道例题,分别涉及极限、微分和积分,而恰当地运用积分因子法,可以快速地解决这一类问题。

作者:$Castelu$

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