双曲函数定义方式的研究

　　我们知道，双曲函数是数学分析中重要的函数，除了传统利用双曲角定义双曲函数的方法以外，还有许多不同的定义方法。
　　我们介绍双曲函数的不同定义方法：
1.双曲角
　　从原点出发引两条关于$x$轴对称的射线，它们分别与双曲线$x^2-y^2=1$的右支交于两点，形成两条线段，这两条线段与双曲线围成不规则图形的面积称为双曲角。

　　设双曲角的大小为$x$，利用定积分计算$x$的值
$$x=2\int_0^y \sqrt{1+t^2}{\rm d}t-y\sqrt{1+t^2}=\ln(y+\sqrt{1+y^2})$$
解得
$$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$
定义双曲正弦函数
$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}，x \in (-\infty,+\infty)$$
然后，可以定义双曲余弦、双曲正切等双曲函数

2.悬链线方程
　　悬链线是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。
设悬链线的对称轴为$y$轴，坐标原点到最低点的距离为$a$
通过受力分析，悬链线方程满足微分方程
$$y''=\frac{1}{a}\sqrt{1+y'^2}，a>0$$
初始条件
$$y|_{x=0}=a，y'|_{x=0}=0$$
此微分方程的特解为
$$y=a\frac{e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}}{2}$$
定义双曲余弦函数
$$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}，x \in (-\infty,+\infty)$$
然后，可以定义双曲正弦、双曲正切等双曲函数

3.Gudermannian函数
　　定义Gudermannian函数
$${\rm gd}(x)=\int_0^x \frac{2}{e^x+e^{-x}}{\rm d}x=2\arctan e^x-\frac{\pi}{2}$$
由此，可以定义双曲函数
双曲正弦函数
$$\sinh x=\tan {\rm gd}x，x \in (-\infty,+\infty)$$
双曲余弦函数
$$\cosh x=\sec {\rm gd}x，x \in (-\infty,+\infty)$$
双曲正切函数
$$\tanh x=\sin {\rm gd}x，x \in (-\infty,+\infty)$$