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计算数项级数∑1/n^2的值

发布者: castelu | 发布时间: 2012-7-22 23:15| 查看数: 907| 评论数: 0|帖子模式

计算数项级数∑1/n^2的值

  我们知道,数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$是常见的收敛级数。但是,它的求和结果与圆周率$\pi$有关。
  我们计算数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$的值:
根据$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi-x}{2}$,$x \in (0,2\pi)$
(证明:http://www.2math.cn/thread-3973-1-1.html
取$\epsilon \in (0,\pi)$,则在区间$[\epsilon,\pi]$上有
$$\frac{\pi-x}{2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}$$
将上式两边在区间$[\epsilon,\pi]$上积分
$$\int_{\epsilon}^{\pi} \frac{\pi-x}{2} {\rm d}x=\int_{\epsilon}^{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n} {\rm d}x$$
$$\int_{\epsilon}^{\pi} \frac{\pi-x}{2} {\rm d}x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{\epsilon}^{\pi} \sin nx {\rm d}x(一致收敛,交换积分与求和次序)$$
$$\int_{\epsilon}^{\pi} \frac{\pi-x}{2} {\rm d}x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \cos n\epsilon$$
令$\epsilon \to 0^+$
$$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0+} \int_{\epsilon}^{\pi} \frac{\pi-x}{2} {\rm d}x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}+\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0+} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \cos n\epsilon$$
$$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0+} \int_{\epsilon}^{\pi} \frac{\pi-x}{2} {\rm d}x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0+} \cos n\epsilon(一致收敛,交换极限与求和次序)$$
$$\frac{\pi^2}{4}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$
记级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$之和为$S$,则利用
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}-2\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2}=S-\frac{S}{2}=\frac{S}{2}$$
就有
$$\frac{\pi^2}{4}=\frac{3S}{2}$$
从而得到
$$S=\frac{\pi^2}{6}$$

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

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