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证明调和级数∑1/n发散

发布者: castelu | 发布时间: 2012-7-21 19:46| 查看数: 853| 评论数: 0|帖子模式

证明调和级数∑1/n发散

  我们知道,调和级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$是数学分析中重要的概念,它是证明其他数项级数敛散性的比较依据。证明调和级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$发散的方法很多,通常方法是利用Cauchy收敛准则。
  我们利用利用Cauchy收敛准则证明调和级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$发散。
设$u_n=\frac{1}{n}$,考察调和级数第$m+1$项至第$2m$项和的绝对值
$$|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots+u_{2m}|=|\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+\cdots+\frac{1}{2m}|$$
$$\ge |\frac{1}{2m}+\frac{1}{2m}+\cdots+\frac{1}{2m}|=\frac{1}{2}。$$
因此,取$\epsilon_0=\frac{1}{2}$,对任何正整数$N$,只要$m>N$就有上式成立。根据Cauchy收敛准则,调和级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$发散。

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