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数项级数∑1/(n^n)的等价表达式

发布者: castelu | 发布时间: 2012-7-19 22:24| 查看数: 3392| 评论数: 0|帖子模式

数项级数∑1/(n^n)的等价表达式

  我们知道,数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}$的值不易计算。但是,我们可以计算与它等价的积分表达式。
  我们计算与数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}$等价的积分表达式:
根据恒等式
$$x^{-x}=e^{-x\ln x}$$
等式右边展开成Taylor级数
$$x^{-x}=1+\sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^m \frac{x^m(\ln x)^m}{m!}$$
等式两边取$0$至$1$的积分
$$\int_0^1 x^{-x}{\rm d}x=1+\int_0^1 \sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^m \frac{x^m(\ln x)^m}{m!}{\rm d}x$$
$$\int_0^1 x^{-x}{\rm d}x=1+\sum\limits_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!} \int_0^1 x^m(\ln x)^m{\rm d}x$$
(一致收敛,交换积分与求和次序)
$$\int_0^1 x^{-x}{\rm d}x=1+\sum\limits_{m=1}^{\infty} \frac{1}{(m+1)^{m+1}}$$
$$\int_0^1 \frac{1}{x^x}{\rm d}x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}$$

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