请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

数学之家» 数学之家 查看内容

文章内容

数项级数∑1/(n^n)的等价表达式

发布者: castelu | 发布时间: 2012-7-19 22:24| 查看数: 873| 评论数: 0|帖子模式

数项级数∑1/(n^n)的等价表达式

  我们知道,数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}$的值不易计算。但是,我们可以计算与它等价的积分表达式。
  我们计算与数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}$等价的积分表达式:
根据恒等式
$$x^{-x}=e^{-x\ln x}$$
等式右边展开成Taylor级数
$$x^{-x}=1+\sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^m \frac{x^m(\ln x)^m}{m!}$$
等式两边取$0$至$1$的积分
$$\int_0^1 x^{-x}{\rm d}x=1+\int_0^1 \sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^m \frac{x^m(\ln x)^m}{m!}{\rm d}x$$
$$\int_0^1 x^{-x}{\rm d}x=1+\sum\limits_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!} \int_0^1 x^m(\ln x)^m{\rm d}x$$
(一致收敛,交换积分与求和次序)
$$\int_0^1 x^{-x}{\rm d}x=1+\sum\limits_{m=1}^{\infty} \frac{1}{(m+1)^{m+1}}$$
$$\int_0^1 \frac{1}{x^x}{\rm d}x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}$$

最新评论

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2018-11-17 20:51 , Processed in 1.687587 second(s), 23 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部