请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

数学之家» 数学之家 查看内容

文章内容

三角级数求和

发布者: castelu | 发布时间: 2012-7-17 20:34| 查看数: 649| 评论数: 0|帖子模式

三角级数求和

  我们知道,三角级数$S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}$是常见的函数项级数。但是,它的和函数有非常简单的表达式。
  我们计算$S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}$的和函数:
由于$S(x)$有周期$2\pi$,且有$S(0)=S(2\pi)=0$,因此只需在开区间$(0,2\pi)$上求$S(x)$
这时先计算级数的部分和序列$S_n(x)$
$$S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\sin kx}{k}=\sum\limits_{k=1}^{n} \int_0^x \cos kt{\rm d}t=\int_0^x (\sum\limits_{k=1}^{n} \cos kt){\rm d}t$$
$$=\int_0^x \frac {\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin \frac{t}{2}}-\frac{1}{2}{\rm d}t$$
(证明:http://www.2math.cn/thread-3980-1-2.html
$$=\int_0^x \frac{\sin (n+\frac{1}{2})t}{2\sin \frac{t}{2}}{\rm d}t-\frac{x}{2}$$
利用$S(\pi)=0$就有公式
$$\int_0^{\pi} \frac{\sin (n+\frac{1}{2})t}{2\sin \frac{t}{2}}{\rm d}t=\frac{\pi}{2}$$
合并以上计算就得到
$$S_n(x)=\frac{\pi-x}{2}-\int_x^{\pi} \frac{\sin (n+\frac{1}{2})t}{2\sin \frac{t}{2}}{\rm d}t$$
由于$x \in (0,2\pi)$,函数$\frac{1}{2\sin \frac{t}{2}}$在区间$[\pi,x]$上常义可积,因此只要对最后一个积分用Riemann引理,就得到和函数的表达式为
$$S(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}S_n(x)=\frac{\pi-x}{2},x \in (0,2\pi)$$

最新评论

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2018-6-21 07:00 , Processed in 2.640642 second(s), 23 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部