运用多项式性质巧解矩阵问题

前言：
　　矩阵问题是线性代数中的常见问题。从代数结构上说，矩阵环与多项式环的构造类似，我们可以将矩阵问题转化为多项式问题，运用多项式的性质，较容易地解决矩阵问题。

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例题：
　　矩阵$A$满足$A^3+E=2A$，其中$E$为单位矩阵。试证：矩阵$2A^2+A-E$可逆。

解答：
　　把矩阵看成多项式环$\mathbb{P}[x]$中关于未定元$x$的多项式，并进行因式分解
$$f(x)=x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)$$
$$g(x)=2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)$$
　　显然，这两个多项式是互素的
$$\exists u(x), v(x) \in \mathbb{P}[x]$$
$$u(x)(x-1)(x^2+x-1)+v(x)(2x-1)(x+1)=1$$
　　将$A$代入，得到
$$u(A)(A-E)(A^2+A-E)+v(A)(2A-E)(A+E)=E$$
　　所以，$(2A-E)(A+E)$可逆，并且
$$[(2A-E)(A+E)]^{-1}=v(A)$$
　　而$v(x)$可以通过辗转相除法得到

点评：
　　该方法将矩阵环的问题转化为多项式环的问题，并且轻松求得逆矩阵。

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总结：
　　恰当地在不同代数结构中转换思路，运用合适的性质，可以快速地解决一些难题。

作者：$Castelu$