请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 228|回复: 0

[已解决] 蓝以中下册 一元多项式环 175页 习题二7 解答

[复制链接]
发表于 2016-7-30 20:33:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题二7:
  在$R[x]$内求下列多项式的素因式标准分解式:
(1)
$$x^{2n}-1$$
(2)
$$x^{2n+1}-1$$
(3)
$$x^{2n+1}+1$$
(4)
$$x^{2n}+1$$



解:
$$\begin{eqnarray*}
x^{2n}-1&=&\prod\limits_{k=0}^{2n-1}\left(x-e^{\frac{k\pi i}{n}}\right)\\
&=&(x-1)(x+1)\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(x-e^{\frac{k\pi i}{n}}\right)\left(x-e^{\frac{(2n-k)\pi i}{n}}\right)\\
&=&(x-1)(x+1)\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(x^2-2\cos{\frac{k\pi}{n}}x+1\right)
\end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}
x^{2n+1}-1&=&(x-1)\prod\limits_{k=1}^{2n}\left(x-e^{\frac{2k\pi i}{2n+1}}\right)\\
&=&(x-1)\prod\limits_{k=1}^{n}\left(x-e^{\frac{2k\pi i}{2n+1}}\right)\left(x-e^{\frac{(2n+1-2k)\pi i}{2n+1}}\right)\\
&=&(x-1)\prod\limits_{k=1}^{n}\left(x^2-2\cos{\frac{2k\pi}{2n+1}}x+1\right)
\end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}
x^{2n+1}+1&=&\prod\limits_{k=0}^{2n}\left(x-e^{\frac{(2k+1)\pi i}{2n+1}}\right)\\
&=&(x+1)\prod\limits_{k=0}^{n-1}\left(x-e^{\frac{(2k+1)\pi i}{2n+1}}\right)\left(x-e^{\frac{(2n-2k)\pi i}{2n+1}}\right)\\
&=&(x+1)\prod\limits_{k=0}^{n-1}\left(x^2-2\cos{\frac{(2k+1)\pi}{2n+1}}x+1\right)
\end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}
x^{2n}+1&=&\prod\limits_{k=0}^{2n-1}\left(x-e^{\frac{(2k+1)\pi i}{2n}}\right)\\
&=&\prod\limits_{k=0}^{n-1}\left(x-e^{\frac{(2k+1)\pi i}{2n}}\right)\left(x-e^{\frac{(2n-2k-1)\pi i}{2n}}\right)\\
&=&\prod\limits_{k=0}^{n-1}\left(x^2-2\cos{\frac{(2k+1)\pi}{2n}}x+1\right)
\end{eqnarray*}$$
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2019-1-24 21:09 , Processed in 1.140625 second(s), 27 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表