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[已解决] 蓝以中下册 多元多项式环 208页 习题一4 解答

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发表于 2016-8-1 21:17:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题一4:
  设
$$f,g \in K[x_1,\cdots,x_n],g \ne 0$$
  如果对使
$$g(a_1,\cdots,a_n) \ne 0$$
  的$K$内任意一组元素
$$a_1,a_2,\cdots,a_n$$
  都有
$$f(a_1,a_2,\cdots,a_n)=0$$
  又已知$K$包含无穷多个元素,证明$f$为零多项式。



解:
  如果$f$为非零多项式,知$fg$为$K[x_1,\cdots,x_n]$内非零多项式,有
$$a_1,a_2,\cdots,a_n \in K$$
  使
$$f(a_1,a_2,\cdots,a_n)g(a_1,a_2,\cdots,a_n) \ne 0$$
  但
$$g(a_1,a_2,\cdots,a_n) \ne 0$$
  时按题设应有
$$f(a_1,a_2,\cdots,a_n)=0$$
  矛盾。故$f$必为零多项式。
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