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[已解决] 蓝以中下册 一元多项式环 175页 习题二6 解答

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发表于 2016-7-30 20:30:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题二6:
  给定
$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n \in Z[x]$$
  设存在素数$p$及非负整数$k$,使
$$p \not| a_0,p|a_{k+1},p|a_{k+2},\cdots,p|a_n$$
  但
$$p^2 \not| a_n$$
  证明$f(x)$在$Z[x]$内有次数$\ge n-k$的不可约因子$\phi(x)$。



解:
  按$Z[x]$内的因子分解唯一定理,有
$$f(x)=p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}p_1^{f_1}(x) \cdots p_l^{f_l}(x)$$
  因为
$$p \not| a_0$$
  故
$$p \ne p_i(i=1,2,\cdots,k)$$
  但
$$p|a_n$$
  而$a_n$是由分解式中各因式的常数项连乘得出
  故必有$f(x)$的一个次数$\ge 1$的不可约因子$\phi(x)$,其常数项被$p$整除
  设
$$f(x)=\phi(x)g(x)$$
$$\phi(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m,p|b_m$$
$$g(x)=c_0x^h+c_1x^{h-1}+\cdots+c_h$$
  现设
$$p|b_{m-i}(i=0,1,\cdots,l-1)$$
  但
$$p \not| b_{m-l}$$
  因
$$a_0=b_0c_0,p \not| a_0$$
  故
$$p \not| b_0,p \not| c_0$$
  于是
$$l \le m$$
  现因
$$p^2 \not| a_n$$
  而
$$a_n=b_mc_h$$
  已知
$$p|b_m$$
  故
$$p \not| c_h$$
  现约定
$$c_{-k}=0(k=1,2,3,\cdots)$$
  我们有
$$a_{n-l}=c_hb_{m-l}+c_{h-1}b_{m-(l-1)}+c_{h-2}b_{m-(l-2)}+\cdots+c_{h-l}b_m$$
  因为
$$p|b_{m-i}(i=l-1,l-2,\cdots,1,0)$$
  但
$$p \not| b_{m-l},p \not| c_h$$
  于是
$$p \not| a_{n-l}$$
  这推出
$$n-l \le k$$
  即
$$n-k \le l \le m=\deg \phi(x)$$
  即$f(x)$有一不可约因子$\phi(x)$,其次数$\ge n-k$。
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