请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 177|回复: 0

[已解决] 蓝以中下册 一元多项式环 174页 习题二2 解答

[复制链接]
发表于 2016-7-29 19:02:40 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题二2:
  设
$$f(x) \in R[x]$$
  对任意$a \in R$,$f(a) \ge 0$。证明$f(x)$可表为
$$f(x)=g^2(x)+h^2(x)$$
  其中
$$g(x),h(x) \in R[x]$$



解:
  不妨设$f(x) \ne 0$,在$R[x]$内
$$f(x)=a_0(x-a_1)^{k_1} \cdots (x-a_r)^{k_r}(x^2+p_1x+q_1)^{l_1} \cdots (x^2+p_sx+q_s)^{l_s}$$
  其中
$$a_1,\cdots,a_r$$
  为$f(x)$的实根,而
$$p_i^2-4q_i<0(i=1,2,\cdots,s)$$
  若有某$k_i$为奇数,则存在$\epsilon>0$
  使在区间
$$(a_i-\epsilon,a_i+\epsilon)$$
  内$f(x)$改变符号,这与题设矛盾,故$k_i$均为偶数
  又因
$$x \to +\infty$$
  时
$$f(x) \to +\infty$$
  故知
$$a_0>0$$
  于是
$$a_0(x-a_1)^{k_1} \cdots (x-a_r)^{k_r}=c^2(x),c(x) \in R[x]$$
  现在
$$\begin{eqnarray*}
x^2+p_ix+q_i&=&\left(x+\frac{1}{2}p_i\right)^2-\frac{1}{4}p_i^2+q_i\\
&=&\left(x+\frac{1}{2}p_i\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sqrt{4q_i-p_i^2}\right)^2
\end{eqnarray*}$$
  对任意
$$g_1(x),g_2(x),h_1(x),h_2(x) \in R[x]$$
  我们有
$$\begin{eqnarray*}
(g_1^2+h_1^2)(g_2^2+h_2^2)&=&(g_1+ih_1)(g_1-ih_1)(g_2+ih_2)(g_2-ih_2)\\
&=&[(g_1g_2-h_1h_2)+(g_1h_2+g_2h_1)i][(g_1g_2-h_1h_2)-(g_1h_2+g_2h_1)i]\\
&=&(g_1g_2-h_1h_2)^2+(g_1h_2+g_2h_1)^2
\end{eqnarray*}$$
  综合上面的结果即知有
$$f(x)=g^2(x)+h^2(x)$$
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2019-3-24 06:31 , Processed in 10.265625 second(s), 27 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表