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[已解决] 蓝以中下册 一元多项式环 165页 习题一32 解答

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发表于 2016-7-28 20:31:43 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题一32:
  如果
$$f'(x)|f(x)$$
  证明:$f(x)$有$n$重根,其中$n=\deg f(x)$。



解:
  设
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$$
  是$f'(x)$的不同根,而且设他们的重数分别为
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$$
  由于$f'(x)$是$n-1$次多项式,所以
$$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_s=n-1$$
  又可知
$$f'(x)|f(x)$$
  故
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$$
  分别为$f(x)$的
$$\lambda_1+1,\lambda_2+2,\cdots,\lambda_s+1$$
  重根,但
$$(\lambda_1+1)+(\lambda_2+1)+\cdots+(\lambda_s+1)=n$$
  将
$$\lambda_1+1,\lambda_2+2,\cdots,\lambda_s+1$$
  代入
$$(\lambda_1+1)+(\lambda_2+1)+\cdots+(\lambda_s+1)=n$$
  有
$$n-1+s=n,s=1$$
  即$f'(x)$只能有根$\alpha_1$,且重数为$\lambda_1=n-1$,所以$f(x)$有$n$重根$\alpha_1$。
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