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[已解决] 蓝以中下册 带度量的线性空间 41页 习题二18 解答

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发表于 2016-7-18 19:34:53 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题二18:
  设$A,B$是$n$阶实对称矩阵,$A$正定,证明:存在一可逆矩阵$T$,使$T'AT$和$T'BT$同时成对角形。



解:
  由于$A$正定,存在可逆矩阵$T_1$,使
$$T_1'AT_1=E$$
  考查矩阵
$$T_1'BT_1$$
  显然它是实对称阵,记为$C$
  故存在正交矩阵$T_2$,使
$$T_2^{-1}CT_2=T_2'CT_2=D$$
  其中$D$是对角阵
  令
$$T=T_1T_2$$
  则
$$T'AT=T_2'T_1'AT_1T_2=E$$
$$T'BT=T_2'T_1'BT_1T_2=D$$
  它们同时成对角形。
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