蓝以中下册 带度量的线性空间 39页 习题二10 解答

castelu

习题二10：
　　设$V$为$n$维欧式空间，$A$与$A^*$为$V$内两个线性变换。如果对任意$\alpha,\beta \in V$有
$$(A\alpha,\beta)=(\alpha,A^*\beta)$$
　　则称$A^*$为$A$的共轭变换。证明：$A$与$A^*$在$V$的任一组标准正交基下的矩阵互为转置。

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解：
　　设$A$与$A^*$在$V$的标准正交基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵分别是
$$A=(a_{ij}),A^*=(b_{ij})$$
　　按假设
$$(A\epsilon_i,\epsilon_k)=\left(\sum\limits_{j=1}^na_{ji}\epsilon_j,\epsilon_k\right)=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}(\epsilon_j,\epsilon_k)=a_{ki}$$
$$(\epsilon_i,A^*\epsilon_k)=\left(\epsilon_i,\sum\limits_{j=1}^nb_{jk}\epsilon_j\right)=\sum\limits_{j=1}^nb_{jk}(\epsilon_i,\epsilon_j)=b_{ik}$$　　
　　这说明
$$A^*=A'$$