蓝以中下册 带度量的线性空间 39页 习题二4 解答

castelu

习题二4：
　　设$\alpha,\beta$是欧式空间中两个不同的单位向量，证明存在一个镜面反射$A$，使$A\alpha=\beta$。

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解：
　　注意
$$(\alpha,\alpha)=(\beta,\beta)=1$$
　　设
$$\eta=\frac{1}{|\alpha-\beta|}(\alpha-\beta)$$
　　则$\eta$定义一镜面反射
$$\begin{eqnarray*}
A\alpha&=&\alpha-2\left(\frac{\alpha-\beta}{|\alpha-\beta|},\alpha\right)\frac{\alpha-\beta}{|\alpha-\beta|}\\
&=&\alpha-\frac{2}{|\alpha-\beta|^2}((\alpha,\alpha)-(\beta,\alpha))(\alpha-\beta)\\
&=&\alpha-\frac{2}{2(1-(\alpha,\beta))}(1-(\alpha,\beta))(\alpha-\beta)=\beta
\end{eqnarray*}$$