请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 1600|回复: 0

[已解决] 蓝以中下册 带度量的线性空间 17页 习题一23 解答

[复制链接]
发表于 2016-7-13 20:45:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题一23:
  在实数域上线性空间$R[x]_{n+1}$内定义内积:若$f(x),g(x) \in R[x]_{n+1}$,令
$$(f(x),g(x))=\int_{-1}^1f(x)g(x)dx$$
  则$R[x]_{n+1}$成为一欧式空间。证明下面的$Legendre$多项式
$$P_0(x)=1$$
$$P_k(x)=\frac{1}{2^kk!}\frac{d^k}{dx^k}[(x^2-1)^k](k=1,2,\cdots,n)$$
  是$R[x]_{n+1}$的一组正交基。



解:
  因为$(x^2-1)^k$是首项系数为$1$的$2k$次多项式,故
$$\begin{eqnarray*}
P_k(x)&=&\frac{1}{2^kk!}\frac{d^k}{dx^k}(x^2-1)^k\\
&=&\frac{2k(2k-1)\cdots(k+1)}{2^kk!}x^k+a_1x^{k-2}+\cdots+a_k
\end{eqnarray*}$$
  (因$(x^2-1)^k$展开式中只含$x$的偶次幂,故求$k$次微商后不含$x^{k-1}$)
  对$l<k$,应用高阶微商的$Leibniz$公式,有
$$\begin{eqnarray*}
\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^k&=&2k\frac{d^{l-1}}{dx^{l-1}}[x(x^2-1)^{k-1}]\\
&=&2k\left[x\frac{d^{l-1}}{dx^{l-1}}(x^2-1)^{k-1}+(l-1)\frac{d^{l-2}}{dx^{l-2}}(x^2-1)^{k-1}\right]
\end{eqnarray*}$$
  现在利用上面公式来证明:
  当$l<k$时
$$\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^k$$
  (作为$x$的多项式)包含$(x^2-1)$为其因子
  首先,$k=1$时,$l=0$,命题成立
  设$k=m$时命题已成立
  则当$k=m+1$时,设$l<m+1$,当$l=0,1$时结论显然成立,而$2 \le l \le m$时,有
$$\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^{m+1}=2(m+1)\left[x\frac{d^{l-1}}{dx^{l-1}}(x^2-1)^m+(l-1)\frac{d^{l-2}}{dx^{l-2}}(x^2-1)^m\right]$$
  按归纳假设
$$\frac{d^{l-1}}{dx^{l-1}}(x^2-1)^m$$
  和
$$\frac{d^{l-2}}{dx^{l-2}}(x^2-1)^m$$
  中都含$(x^2-1)$作为因子,于是
$$\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^{m+1}$$
  也含$(x^2-1)$作为其因子。于是,当$l<k$时有
$$\left.\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^k\right|_{x=\pm 1}=0$$
  下面利用分部积分公式
$$\begin{eqnarray*}
&&\int_a^bu(x)v^{(m)}(x)dx\\
&=&\left.[uv^{(m-1)}-u'v^{(m-2)}+\cdots+(-1)^{m-1}u^{(m-1)}v]\right|_a^b+(-1)^m\int_a^bu^{(m)}(x)v(x)dx
\end{eqnarray*}$$
  令$a=-1,b=1,m=k,l<k$,以及
$$u(x)=\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l,v(x)=(x^2-1)^k$$
  那么,按上面公式,我们有
$$\left.v^{(i)}(x)\right|_{x=\pm 1}=0(i=0,1\cdots,k-1)$$
  又因$u(x)$为$l$次多项式,$l<k$,故$u^{(k)}(x)=0$。于是
$$\int_{-1}^1P_l(x)P_k(x)dx=\frac{1}{2^{k+1}k!l!}\int_{-1}^1\left(\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l\right)\left(\frac{d^k}{dx^k}(x^2-1)^k\right)dx=0$$
  这表明
$$P_0(x),P_1(x),\cdots,P_n(x)$$
  是$R[x]_{n+1}$的一组正交基
  因为次数小于$k$的多项式可被
$$P_0(x),P_1(x),\cdots,P_{k-1}(x)$$
  (它们是$R[x]_{n+1}$的一组正交基)线性表示,因而与$P_{k+i}(x)$正交$(i=0,1,2,\cdots)$
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2024-3-29 09:23 , Processed in 1.125000 second(s), 25 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表