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[已解决] 蓝以中下册 带度量的线性空间 14页 习题一1 解答

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发表于 2016-7-11 17:50:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题一1:
  设$A$是$n$阶正定矩阵。在$R^n$中定义二元函数$(\alpha,\beta)$如下:若
$$\alpha=(x_1,x_2,\cdots,x_n),\beta=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$$
  则令
$$(\alpha,\beta)=\alpha A \beta'$$
  证明:
(1)$(\alpha,\beta)$满足内积条件(线性性、对称性和正定性),从而$R^n$关于这个内积也成一欧式空间;
(2)写出这个欧式空间的$Cauchy-Bunjakovskii$不等式。



解:
(1)(i)对任意$k_1,k_2 \in R$和任意$\alpha_1,\alpha_2,\beta \in R^n$,有
$$(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2) A \beta'=k_1\alpha_1 A \beta'+k_2\alpha_2 A \beta'$$
(ii)由于$A$是$n$阶正定矩阵,故$A$实对称,即$A'=A$
  对任意$\alpha,\beta \in R^n$,有
$$\alpha A \beta'=\beta A \alpha'$$
(iii)由于$A$是$n$阶正定矩阵,故
  对任意$\alpha \in R^n$,有
$$\alpha A \alpha' \ge 0$$
  且
$$\alpha A \alpha'=0$$
  的充分必要条件是
$$\alpha=0$$
  所以,$(\alpha,\beta)$满足内积条件(线性性、对称性和正定性)
  从而$R^n$关于这个内积也成一欧式空间
(2)$Cauchy-Bunjakovskii$不等式
  对欧式空间$R^n$内任意两个向量$\alpha,\beta$,若
$$\alpha=(x_1,x_2,\cdots,x_n),\beta=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$$
  有
$$\left(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_iy_j\right)^2 \le \left(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j\right)\left(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}y_iy_j\right)$$
  等号成立的充分必要条件是:$\alpha,\beta$线性相关。
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