蓝以中上册 线性空间与线性变换 330页 习题四27 解答

castelu

习题四27：
　　设$V$是数域$K$上的$n$维线性空间，$A$是$V$内的一个线性变换，$\lambda_0$是$A$的一个特征值。如果$\lambda_0$是$A$的特征多项式$f(\lambda)$的$e$重根，证明$\dim V_{\lambda_0} \le e$。

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解：
　　设
$$\dim V_{\lambda_0}=t$$
　　并且
$$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t$$
　　为$V_{\lambda_0}$的一组基
　　将
$$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t$$
　　扩为$V$的一组基
$$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t,\xi_{t+1},\cdots,\xi_n$$
　　则
$$A(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t,\xi_{t+1},\cdots,\xi_n)=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t,\xi_{t+1},\cdots,\xi_n)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda_0}&{}&{}&{}\\
{}&{\ddots}&{}&{*}\\
{}&{}&{\lambda_0}&{}\\
{}&{}&{}&{A_1}
\end{array}} \right)$$
　　那么
$$f(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^tg(\lambda)$$
　　由于$\lambda_0$是$f(\lambda)$的$e$重根，所以$g(\lambda)$中可能还有$\lambda_0$的重根
　　于是
$$\dim V_{\lambda_0} \le e$$