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[已解决] 蓝以中上册 线性空间与线性变换 329页 习题四26 解答

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发表于 2016-6-21 21:52:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题四26:
  设$A$是数域$K$上的$n$维线性空间$V$内的一个线性变换。如果存在$V$内非零向量$\alpha$,使$A\alpha=0$,令$M=L(\alpha)$。如果$A$在$V/M$内的诱导变换可逆,且其矩阵(在$V/M$内)可对角化。证明$A$在$V$内其矩阵也可对角化。



解:
  根据《蓝以中上册 线性空间与线性变换 328页 习题四14 解答》
  存在$K$内不同的数
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$$
  使诱导变换$A$满足
$$(A-\lambda_1E)(A-\lambda_2E)\cdots(A-\lambda_kE)=0$$
  从该题的题解中已知
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$$
  应取为$A$在$V/M$内的特征值,而$A$在$V/M$内可逆,故
$$\lambda_i \ne 0(i=1,2,\cdots,k)$$
  对任意$\beta \in V$,在$V/M$内有
$$\begin{eqnarray*}
&&(A-\lambda_1E)(A-\lambda_2E)\cdots(A-\lambda_kE)(\beta+M)\\
&=&(A-\lambda_1E)(A-\lambda_2E)\cdots(A-\lambda_kE)\beta+M\\
&=&0+M
\end{eqnarray*}$$
  从而
$$(A-\lambda_1E)(A-\lambda_2E)\cdots(A-\lambda_kE)\beta \in M$$
  于是
$$(A-0E)(A-\lambda_1E)\cdots(A-\lambda_kE)\beta=0$$
  上式表示,在$V$内
$$(A-0E)(A-\lambda_1E)\cdots(A-\lambda_kE)=0$$
  再根据《蓝以中上册 线性空间与线性变换 328页 习题四14 解答》
  $A$在$V$内矩阵可对角化。
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