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[已解决] 蓝以中上册 线性空间与线性变换 329页 习题四21 解答

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发表于 2016-6-17 18:08:18 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题四21:
  设$V$是数域$K$上的$n$维线性空间,$A,B$是$V$内两个线性变换,且$AB=BA$。如果$A,B$的矩阵都可对角化,证明$V$内存在一组基,使$A,B$在该组基下的矩阵同时成对角形。



解:
  由于$A$的矩阵都可对角化,故$A$一定有属于数域$K$的特征值
  设$\lambda$是$A$的一个特征值,$V_{\lambda}$是属于特征值$\lambda$的特征子空间
  先证$V_{\lambda}$是$B$的不变子空间
  若
$$\alpha \in V_{\lambda}$$
  那么
$$A(B\alpha)=AB(\alpha)=BA(\alpha)=B(A\alpha)=B(\lambda\alpha)=\lambda(B\alpha)$$
  故
$$B\alpha \in V_{\lambda}$$
  因此$V_{\lambda}$是$B$的不变子空间
  于是,$A,B$有公共的特征向量,记为$\xi_1$
  设$\mu$是$B$的一个特征值,且
$$B\xi_1=\mu\xi_1$$
  将$\xi_1$扩为$V$的一组基
$$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$$
  设$A,B$在这组基下的矩阵分别是
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda}&{*}\\
{0}&{A_1}
\end{array}} \right),B=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\mu}&{*}\\
{0}&{B_1}
\end{array}} \right)$$
  由于
$$AB=BA$$
  可知
$$A_1B_1=B_1A_1$$
  归纳假设$V$内存在一组基
$$\xi_2,\xi_3,\cdots,\xi_n$$
  使$A,B$在该组基下的矩阵同时成对角形
  则在基
$$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$$
  下,$A,B$的矩阵同时成对角形。
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