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[已解决] 蓝以中上册 线性空间与线性变换 327页 习题四8 解答

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发表于 2016-6-11 18:28:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题四8:
  设$\lambda_1,\lambda_2$是线性变换$A$的两个不同特征值,$\xi_1,\xi_2$是分别属于$\lambda_1,\lambda_2$的特征向量。证明:$\xi_1+\xi_2$不是$A$的特征向量。



解:
  因为$A\xi_1=\lambda_1\xi_1$,$A\xi_2=\lambda_2\xi_2$,$\lambda_1 \ne \lambda_2$
  假设$\xi_1+\xi_2$是线性变换$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量,即
$$A(\xi_1+\xi_2)=\lambda(\xi_1+\xi_2)$$
  则有
$$\lambda(\xi_1+\xi_2)=\lambda_1\xi_1+\lambda_2\xi_2$$
  即
$$(\lambda_1-\lambda)\xi_1+(\lambda_2-\lambda)\xi_2=0$$
  由于线性变换$A$的属于不同特征值的特征向量线性无关
  故有
$$\lambda_1-\lambda=0,\lambda_2-\lambda=0$$
  于是得
$$\lambda_1=\lambda_2$$
  这与题设矛盾,故$\xi_1+\xi_2$不是$A$的特征向量。
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