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[已解决] 蓝以中上册 向量空间与矩阵 117页 习题四7 解答

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发表于 2016-5-8 19:55:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题四7:
  设$A \in M_{m,n}(K)$,$B \in M_{n,s}(K)$。如果$AB=0$,证明
$$r(A)+r(B) \le n$$



解:
  令$B=(B_1,B_2,\cdots,B_s)$,则
$$AB=A(B_1,B_2,\cdots,B_s)=(AB_1,AB_2,\cdots,AB_s)=O$$
  故有
$$AB_1=AB_2=\cdots=AB_s=O$$
  即齐次线性方程组
$$AX=0$$
  有$s$组解
$$B_1,B_2,\cdots,B_s$$
  设秩
$$r(A)=r$$
  则
$$B_1,B_2,\cdots,B_s$$
  可由$n-r$个线性无关的解向量线性表示,则秩
$$r(B) \le n-r$$
  即
$$r(A)+r(B) \le r+(n-r)=n$$
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