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[已解决] 裴礼文 多元函数微分学 676页 练习6.2.26 解答

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发表于 2016-5-1 23:31:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
练习6.2.26:
  设二元可微函数$F(x,y)=f(x)g(y)$:
(1)在极坐标系中可表成$F(x,y)=s(r)$,求$F(x,y)$;
(2)在极坐标系中可表成$F(x,y)=\phi(\theta)$,求$F(x,y)$。



解:
(1)由于
$$r=\sqrt {x^2+y^2}$$
  并且
$$s(r)=f(x)g(y)$$
  两边关于$x$求导
$$f'(x)g(y)=\frac{xs'(r)}{r}$$
  两边关于$y$求导
$$f(x)g'(y)=\frac{ys'(r)}{r}$$
  两式相除
$$\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{g'(y)}{g(y)}}=\frac{x}{y}=C(C是任意常数)$$
  所以
$$\frac{f’(x)}{f(x)}=Cx$$
  这是可分离变量的常微分方程,解得
$$f(x)=C_1e^{\frac{1}{2}Cx^2}(C_1是任意常数)$$
  同理
$$g(y)=C_2e^{\frac{1}{2}Cy^2}(C_2是任意常数)$$
  于是
$$F(x,y)=f(x)g(y)=C_1C_2e^{\frac{1}{2}C(x^2+y^2)}$$
  令
$$A=\frac{1}{2}C, B=C_1C_2$$
  就有
$$F(x,y)=Be^{A(x^2+y^2)}(A,B是任意常数)$$
(2)由于
$$\theta=\arctan \frac{y}{x}$$
  并且
$$\phi(\theta)=f(x)g(y)$$
  两边关于$x$求导
$$f'(x)g(y)=\frac{-y\phi'(\theta)}{x^2+y^2}$$
  两边关于$y$求导
$$f(x)g'(y)=\frac{x\phi'(\theta)}{x^2+y^2}$$
  两式相除
$$\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{g'(y)}{g(y)}}=-\frac{y}{x}=C(C是任意常数)$$
  所以
$$\frac{f’(x)}{f(x)}=-\frac{C}{x}$$
  这是可分离变量的常微分方程,解得
$$f(x)=\frac{C_1}{x^C}(C_1是任意常数)$$
  同理
$$g(y)=C_2y^C(C_2是任意常数)$$
  于是
$$F(x,y)=f(x)g(y)=C_1C_2\left(\frac{y}{x}\right)^C$$
  令
$$A=C, B=C_1C_2$$
  就有
$$F(x,y)=B\left(\frac{y}{x}\right)^A(A,B是任意常数)$$
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