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[已解决] 裴礼文 多元函数微分学 676页 练习6.2.25 解答

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发表于 2016-5-1 22:43:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
练习6.2.25:
  设二元可微函数$F(x,y)$在直角坐标系中可写成$F(x,y)=f(x)+g(y)$,在极坐标系中$F(x,y)=s(r)$,试求$F(x,y)$。



解:
  由于
$$r=\sqrt {x^2+y^2}$$
  并且
$$s(r)=f(x)+g(y)$$
  两边关于$x$求导
$$f'(x)=\frac{xs'(r)}{r}$$
  两边关于$y$求导
$$g'(y)=\frac{ys'(r)}{r}$$
  两式相除
$$\frac{f'(x)}{g'(y)}=\frac{x}{y}=C(C是任意常数)$$
  所以
$$f’(x)=Cx$$
  两边积分
$$f(x)=\frac{1}{2}Cx^2+C_1(C_1是任意常数)$$
  同理
$$g(y)=\frac{1}{2}Cy^2+C_2(C_2是任意常数)$$
  于是
$$F(x,y)=f(x)+g(y)=\frac{1}{2}C(x^2+y^2)+C_1+C_2$$
  令
$$A=\frac{1}{2}C, B=C_1+C_2$$
  就有
$$F(x,y)=A(x^2+y^2)+B(A,B是任意常数)$$
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