请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 405|回复: 1

[已解决] 角谷猜想的代数结构

[复制链接]
发表于 2017-12-12 14:33:48 | 显示全部楼层 |阅读模式
对有理函数f=F(d,n)=3n+d,(d,n)∈Q进行路径积分: 构造有理域变换: f:L→J →AB,F=(x,y,z)={∑f(x,y,z)|x=3n+d,y=3n-d,z=n/2,(d,n)∈Q}: L=(x0,y0,z0)={∑f(x0,y0,z0)|d=0,n=0,x0=3×0+0=0,y0=3×0-0=0,z0=0/2=0}→J=(x1,y1,z1)={∑f(x1,y1,z1)|d=1,n=0,x1=3×0+1=1,y1=3×0-1=-1,z1=0/2=0}→A=(x2,y2,z2)={∑f(x2,y2,z2)|d∈Q,n∈Q+,x2=3×1+d,y2=3×1-d,z2=n/2}B=(x3,y3,z3)={∑f(x3,y3,z3)|d∈Q,n∈Q-,x3=3×(-1)+d,y3=3×(-1)-d,z3=n/2}。
(1)通过路径A进行有理域变换: 【1】(3×1+d1-1)/3=(3×1-d1)/2,d1=1;(3×1-d2-1)/3=(3×1+d2)/2,d2=-1。【2】(3×1-d3)/2=2(3×1+d3),d3=9/5;(3×1+d4)/2=2(3×1-d4),d4=-9/5。 【3】3(3×1-d5)+1=2(3×1+d5),d5=4/5;3(3×1+d6)+1=2(3×1-d6),d6=-4/5。 取d=1,则x2=4,y2=2,可得拓扑循环A=(4,2,1,4)。根据变换法则,取拓扑不动点n=1,则x4=3×1+1=4,y4=3×1-1=2;可得拓扑循环S=(4,2,1,4)=A,所以S同胚于A,因此可得拓扑循环(A,A),所以A是单连通域,因此正整环上的3n+1变换有且只有拓扑循环A=(4,2,1,4)。
(2)通过路径B进行有理域变换: 〈1〉由(1)可知n=-1时本变换等价于(1),因此d=1,x5=-2,y5=-4,可得拓扑循环B=(-1,-2,-1),因为-4B,所以n=-1不是拓扑不动点,不满足变换法则,因此取拓扑不动点n=-2。 〈2〉【1】[3×(-2)-d7-1]/3=[3×(-2)+d7]/2,d7=4/5;[3×(-2)+d8-1]/3=[3×(-2)-d8]/2,d8=-4/5。【2】[3×(-2)-d9]/2=2[3×(-2)+d9],d9=18/5;[3×(-2)+d10]/2=2[3×(-2)-d10],d10=-18/5。【3】3[3×(-2)+d11]+1=2[3×(-2)-d11],d11=1;3[3×(-2)-d12]+1=2[3×(-2)+d12],d12=-1。 取d=1,则x6=-5,y6=-7,可得拓扑循环C=(-5,-14,-7,-20,-10,-5),根据变换法则,取拓扑不动点n=-14。 〈3〉 【1】[3×(-14)-d13-1]/3=[3×(-14)+d13]/2,d13=8;[3×(-14)+d14-1]/3=[3×(-14)-d14]/2,d14=-8。【2】[3×(-14)-d15]/2=2[3×(-14)+d15],d15=126/5;[3×(-14)+d16]/2=2[3×(-14)-d16],d16=-126/5。【3】3[3×(-14)+d17]+1=2×[3×(-14)-d17],d17=41/5;3[3×(-14)-d18]+1=2[3×(-14)+d18],d18=-41/5。取d=8,则x7=-34,y7=-50,可得拓扑循环D=(-34,-17,-50,-25,-74,-37,-110,-55,-164,-82,-41,-122,-61,-182,-91,-272,-136,-68,-34);根据变换法则,取拓扑不动点n=-17。 〈4〉【1】[3×(-17)-d19-1]/3=[3×(-17)+d19]/2,d19=49/5;[3×(-17)+d20-1]/3=[3×(-17)-d20]/2,d20=-49/5。 【2】[3×(-17)-d21]/2=2[3×(-17)+d21],d21=153/5;[3×(-17)+d22]/2=2[3×(-17)-d22],d22=-153/5。 【3】3[3×(-17)+d23]+1=2[3×(-17)-d23],d23=10;3[3×(-17)-d24]+1=2[3×(-17)+d24],d24=-10。取d=10,则x8=-41,y8=-61,可得拓扑循环E=(-41,-122,-61,……,-41)=D,所以E同胚于D,因此可得拓扑循环(D,D),所以D是单连通域,因此B,C,D两两同伦,所以负整环上的3n+1变换有B,C,D3个拓扑循环。
结论:整环上的3n+1变换有A,B,C,D4个拓扑循环。
20170304_140558_mh1488638102256.jpg
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2019-5-20 14:32 , Processed in 1.890552 second(s), 29 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表