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[解析几何] 直径面、对称面与直径、对称轴

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发表于 2017-11-9 20:53:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
定义1 二次曲面上两个点的连线段称为二次曲面的一条

定理1 二次曲面的沿非渐近方向$v=(X,Y,Z)$的所有平行弦的中点轨迹在一个平面上,且该平面方程为$v \cdot \nabla F(x,y,z)=0$,即
$$XF_1(x,y,z)+YF_2(x,y,z)+ZF_3(x,y,z)=0,$$
  或
$$\Phi_1(X,Y,Z)x+\Phi_2(X,Y,Z)y+\Phi_3(X,Y,Z)z+\Phi_4(X,Y,Z)=0。$$

定义2 二次曲面沿非渐近方向$X$:$Y$:$Z$的平行弦中点所在的平面称为二次曲面共轭于方向$X$:$Y$:$Z$的直径面

推论 假如二次曲面$S$的中心存在,那么$S$的任何直径面一定通过$S$的中心。进一步,线心曲面的任何直径面通过它的中心直线,面心曲面的直径面就是它的中心平面。

  如果方向$X$:$Y$:$Z$是二次曲面的渐近方向,那么平行于它的弦不存在。但是如果$\Phi_i(X,Y,Z)$($i=1,2,3$)不全为零,那么方程
$$\Phi_1(X,Y,Z)x+\Phi_2(X,Y,Z)y+\Phi_3(X,Y,Z)z+\Phi_4(X,Y,Z)=0$$
  仍表示一平面,为了方便,把此平面叫做共轭于渐近方向$X$:$Y$:$Z$的直径面。如果
$$\Phi_i(X,Y,Z)=0(i=1,2,3),$$
  那么
$$\Phi_1(X,Y,Z)x+\Phi_2(X,Y,Z)y+\Phi_3(X,Y,Z)z+\Phi_4(X,Y,Z)=0$$
  不表示任何平面。

定义3 满足
$$\Phi_i(X,Y,Z)=0(i=1,2,3)$$
  的渐近方向$X$:$Y$:$Z$称为二次曲面的奇异方向,简称奇向

定理2 二次曲面有奇向当且仅当$I_3=0$。

定理3 二次曲面$S$的奇向平行于$S$的任何直径面。

定义4 如果两方向$X$:$Y$:$Z$,$X'$:$Y'$:$Z'$满足
$$X\Phi_1(X',Y',Z')+Y\Phi_2(X',Y',Z')+Z\Phi_3(X',Y',Z')=0,$$
  或
$$(X,Y,Z)\overline A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
X'\\
Y'\\
Z'
\end{array}} \right)=0。$$
  那么这两个方向称为一对共轭方向

  由此定义我们立即得到以下命题。

命题1
(1)奇向与任何方向都共轭;
(2)方向$X'$:$Y'$:$Z'$与非奇向$X$:$Y$:$Z$共轭当且仅当$X'$:$Y'$:$Z'$与共轭于$X$:$Y$:$Z$的直径面平行。

定义5 二次曲面$S$的两直径面的交线称为$S$的一条直径,两条沿共轭方向的直径称为$S$的一对共轭直径

  对中心曲面而言,过中心的任何平面都是直径面,因而过中心的每一条直线都是$S$的直径。

定义6 平面$\Pi$称为二次曲面$S$的对称面,如果对于任意点$M_1 \in S$,它关于$\Pi$的对称点$M_2 \in S$。

定义7 与共轭方向垂直的直径面称为二次曲面$S$的主径面

  由定义7知,若$\Pi$是$S$的主径面,则$S$的某一组平行弦的中点经过此平面$\Pi$,且这组平行弦与$\Pi$垂直,因而主径面是一直径面,且与它所共轭的方向$X$:$Y$:$Z$垂直,于是$\Pi$的方程为
$$XF_1(x,y,z)+YF_2(x,y,z)+ZF_3(x,y,z)=0,$$
  或
$$\Phi_1(X,Y,Z)x+\Phi_2(X,Y,Z)y+\Phi_3(X,Y,Z)z+\Phi_4(X,Y,Z)=0。$$
  因为$X$:$Y$:$Z$与$Pi$垂直,所以$X$:$Y$;$Z$与$\Phi_1(X,Y,Z)$:$\Phi_2(X,Y,Z)$:$\Phi_3(X,Y,Z)$共线,即
$$\frac{\Phi_1(X,Y,Z)}{X}=\frac{\Phi_2(X,Y,Z)}{Y}=\frac{\Phi_3(X,Y,Z)}{Z}。$$
  令比值为$\lambda$,故
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi_1(X,Y,Z)=\lambda X,\\
\Phi_2(X,Y,Z)=\lambda Y,\\
\Phi_3(X,Y,Z)=\lambda Z.
\end{array} \right.$$
  写成矩阵形式有
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
X\\
Y\\
Z
\end{array}} \right)=\lambda\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
X\\
Y\\
Z
\end{array}} \right),$$
  或
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}-\lambda&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}-\lambda&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
X\\
Y\\
Z
\end{array}} \right)=0。$$
  因为$X$,$Y$,$Z$不全为$0$,所以由齐次线性方程组有非零解的条件得
$$\det (\overline A-\lambda E)=-\lambda^3+I_1\lambda^2-I_2\lambda+I_3=0。$$

定义8 二次曲面$S$的奇向及$S$的主径面的法向称为$S$的主方向

  由
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi_1(X,Y,Z)=\lambda X,\\
\Phi_2(X,Y,Z)=\lambda Y,\\
\Phi_3(X,Y,Z)=\lambda Z.
\end{array} \right.$$
  或
$$\det (\overline A-\lambda E)=-\lambda^3+I_1\lambda^2-I_2\lambda+I_3=0$$
  知道,二次曲面$S$的主方向为矩阵$\overline A$的特征方向。由此给出了求$S$的主方向的方法:
(1)先求出$\overline A$的特征根,
(2)再将特征根代入
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi_1(X,Y,Z)=\lambda X,\\
\Phi_2(X,Y,Z)=\lambda Y,\\
\Phi_3(X,Y,Z)=\lambda Z.
\end{array} \right.$$
  求出主方向。由
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi_1(X,Y,Z)=\lambda X,\\
\Phi_2(X,Y,Z)=\lambda Y,\\
\Phi_3(X,Y,Z)=\lambda Z.
\end{array} \right.$$
  知,$\lambda=0$对应的主方向是$S$的奇向,非零特征根对应的主方向为$S$的非渐近方向,因为
$$\Phi(X,Y,Z)=X\Phi_1(X,Y,Z)+Y\Phi_2(X,Y,Z)+Z\Phi_3(X,Y,Z)$$
$$=\lambda(X^2+Y^2+Z^2)=0。$$
  求出主方向$X$:$Y$:$Z$后,代入
$$\Phi_1(X,Y,Z)x+\Phi_2(X,Y,Z)y+\Phi_3(X,Y,Z)z+\Phi_4(X,Y,Z)=0$$
  得到与其共轭的主径面(与特征根$\lambda$对应的主径面):
$$\lambda(Xx+Yy+Zz)+\Phi_4(X,Y,Z)=0。$$
  由代数知识知道下列命题。

命题2 二次曲面的不同特征根对应的主方向互相垂直。

  对于二次曲线而言,同样有弦的概念,直径、对称轴、主轴的定义对应于二次曲面的直径面、对称面、主径面,奇向、共轭方向、共轭直径与主方向可类似地定义。相应有以下结论。

定理1' 二次曲线的沿非渐近方向$X$:$Y$的所有平行弦的中点轨迹在一条直线上,直线方程为
$$XF_1(x,y)+YF_2(x,y)=0,$$
  或
$$\Phi_1(X,Y)x+\Phi_2(X,Y)y+\Phi_3(X,Y)=0。$$

定理2' 二次曲线有奇向当且仅当$I_2=0$。

定理3' 二次曲线$\Gamma$的奇向平行于$\Gamma$的任何直径。

命题1'
(1)奇向与任何方向共轭;
(2)方向$X'$:$Y'$与非奇向$X$:$Y$共轭当且仅当$X'$:$Y'$与共轭于$X$:$Y$的直径平行。

命题2' 二次曲线的不同特征根对应的主方向互相垂直。

  求二次曲线的主方向和主轴的步骤是类似的。
  下面我们来找出方程化简中的直角坐标变换。
  由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向。因此二次曲面至少有三个主方向。我们选取其中三个两两垂直的主方向并且将它们单位化,设为$e_1$,$e_2$,$e_3$,这样它们就可作为三个坐标向量。
  因为$\overline A e_i=\lambda_ie_i$,其中,$\lambda_i$是特征根,$e_i$是对应于$\lambda_i$的单位主方向,$e_i$的坐标写成列向量的形式,所以有
$$\delta_{ij}=e_i \cdot e_j=e_i^Te_j。$$
  作矩阵$T=(e_1,e_2.e_3)=(\overline Ae_1,\overline Ae_2,\overline Ae_3)=(\lambda_1e_1,\lambda_2e_2,\lambda_3e_3)$,
$$T^TAT=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
e_1^T\\
e_2^T\\
e_3^T
\end{array}} \right)(\lambda_1e_1,\lambda_2e_2,\lambda_3e_3)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\lambda_1&0&0\\
0&\lambda_2&0\\
0&0&\lambda_3
\end{array}} \right)。$$
  故作直角坐标变换$\alpha=T\alpha'$后,二次曲面的方程就化简为
$$\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2+2a'_{14}x'+2a'_{24}y'+2a'_{34}z'+a'_{44}=0。$$
  再经过一个适当的移轴(即选取适当的点为新的坐标原点),就可得到用不变量表示的简化方程。
  对于中心曲面,选取中心作为新的坐标原点,对于线心和面心曲面任取一中心作为新的坐标原点,对无心曲面选取曲面的顶点(对称轴与曲面的交点)为新的坐标原点。
  寻找直角坐标变换的另一方法是找三个主径面作为新的坐标面。
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