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[解析几何] 度量关系

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发表于 2017-11-9 20:51:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
  设直线$l$过点$M_0$,方向向量为$v$,点$M$到直线$l$的距离$d$是以$\vec {M_0M}$,$v$为邻边的平行四边形的底边$v$上的高,因此有
$$d=\frac{\vec {|M_0M} \times v|}{|v|}。$$

命题1 在直角坐标系中,点$P_1(x_1,y_1,z_1)$到平面
$$\Pi:Ax+By+Cz+D=0$$
  的距离为
$$d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}。$$

  作$P_1$到平面$\Pi$的垂线,设垂足为$P_0(x_0,y_0,z_0)$,则$P_1$到平面$\Pi$的距离$d=|\vec {P_0P_1}|$。平面$\Pi$的一个法向量为$n=(A,B,C)$,因为$\vec {P_0P_1} \parallel n$,所以
$$\vec {P_0P}=\delta n^0。$$
上式中的$\delta$称为点$P_1$到平面$\Pi$的离差
$$|\delta|=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}。$$
  平面$\Pi$把空间中不在平面上的点分成两部分,$\Pi$的法向量所指的那一部分称为$\Pi$的正侧,另一部分叫做$\Pi$的负侧。设平面$\Pi$的方程为
$$Ax+By+Cz+D=0,$$
由离差的定义易知点$P(x,y,z)$在$\Pi$的正侧(或负侧)的充要条件是$P(x,y,z)$满足不等式$Ax+By+Cz+D>0$(或$Ax+By+Cz+D<0$)。换句话说,如果$P_i(x_i,y_i,z_i)$($i=1,2$)不在平面$\Pi$上,那么$P_1$,$P_2$位于平面$\Pi$同侧的充要条件是$F_i=Ax_i+By_1+Cz_i+D$($i=1,2$)同号。这个结论在仿射坐标系中也成立。

定义 两直线$l_1$,$l_2$上的点之间的最短距离叫这两直线间的距离,记为$d(l_1,l_2)$。

  如果$l_1 \parallel l_2$,则$l_1$上的任一个点到$l_2$的距离就是$l_1$与$l_2$间的距离;如果$l_1$与$l_2$相交或重合,则$d(l_1,l_2)=0$。
  下设$l_1$与$l_2$异面,$l_i$过点$M_i$,方向向量为$v_i$($i=1,2$),$v_1$,$v_2$不共线。

命题2 两条异面直线$l_1$,$l_2$的距离为
$$d(l_1,l_2)=\frac{(\vec {M_1M_2},v_1,v_2)}{v_1 \times v_2}。$$

  两异面直线的公垂线存在且唯一。
  两直线相交或异面,直线与平面相交,两平面相交都涉及角度问题,我们可以利用向量的内积及其夹角的关系求得这些角度。
(1)直线与直线的夹角。若两直线$l_1$,$l_2$(相交或异面)的方向向量为$v_1$,$v_2$,则$l_1$与$l_2$所夹角度$\alpha$为$\angle (v_1,v_2)$或$\pi-\angle (v_1,v_2)$,满足$\cos \alpha=\pm \frac{v_1 \cdot v_2}{|v_1||v_2|}$。
(2)直线与平面的夹角。直线$l$与平面$\Pi$($l$不垂直于$\Pi$)的夹角定义为$l$与它在$\Pi$上的垂直投影直线所夹的锐角$\theta$;当$l$与$\Pi$垂直时,$l$与$\Pi$的夹角规定为$\frac{\pi}{2}$。
  设$\Pi$的法向量为$n$,$l$的方向向量为$v$,则
$$\theta=\frac{\pi}{2}-\angle (n,v),$$
  或
$$\theta=\angle (n,v)-\frac{\pi}{2},$$
  因此
$$\sin \theta=|\cos \angle (n,v)|。$$
(3)平面与平面的夹角。设两平面的方程为$\Pi_i$:$A_ix+B_iy+C_iy+D_i=0$,$i=1,2$,则$\Pi_i$的法向量为$n_i=(A_i,B_i,C_i)$。
  设$\theta=\angle (n_1,n_2)$,$\Pi_1$与$\Pi_2$之间的角(二面角)以$\angle (\Pi_1,\Pi_2)$来表示,则易知
$$\angle (\Pi_1,\Pi_2)=\theta或\pi-\theta。$$
  因而
$$\cos \angle (\Pi_1,\Pi_2)=\pm \frac{n_1,n_2}{|n_1||n_2|}。$$
  由此得到两平面$\Pi_1$与$\Pi_2$垂直的充要条件是
$$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0。$$
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