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[解析几何] 位置关系

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发表于 2017-11-9 20:51:48 | 显示全部楼层 |阅读模式
  给定两直线$l_i$:$\frac{x-x_i}{X_i}=\frac{y-y_i}{Y_i}=\frac{z-z_i}{Z_i}$,$M_i(x_i,y_i,z_i) \in l_i$,$v_i=(X_i,Y_i,Z_i)$为$l_i$($i=1,2$)的方向向量。
  我们有下列命题。

命题1
(1)当$v_1 \parallel v_2$时,
$1^{\circ}$$l_1 \parallel l_2$当且仅当$\vec {M_1M_2}$与$v_1$不共线;
$2^{\circ}$$l_1$,$l_2$重合当且仅当$\vec {M_1M_2} \parallel v_1$。
(2)当$v_1$,$v_2$不共线时,
$1^{\circ}$$l_1$与$l_2$交于一点当且仅当$(\vec {M_1M_2},v_1,v_2)=0$;
$2^{\circ}$$l_1$与$l_2$异面当且仅当$(\vec {M_1M_2},v_1,v_2) \ne 0$。

  设直线$l$:$\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}$,平面$\Pi$:$Ax+By+Cz+D=0$。易得下面的命题。

命题2
(1)$l$与$\Pi$交于一点当且仅当$AX+BY+CZ \ne 0$;
(2)当$AX+BY+CZ=0$时,$1^{\circ}$$l \subset \Pi$当且仅当$M(x_0,y_0,z_0) \in \Pi$;$2^{\circ}$$l \parallel \Pi$当且仅当$M(x_0,y_0,z_0) \notin \Pi$。

  在仿射标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$下,设两平面$\Pi_i$($i=1,2$)的方程为
$$\Pi_i:A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0(i=1,2)。$$

定理1
(1)$\Pi_1$与$\Pi_2$相交于一直线的充要条件是$A_1:B_1:C_1 \ne A_2:B_2:C_2$;
(2)$\Pi_1$与$\Pi_2$平行的充要条件是$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} \ne \frac{D_1}{D_2}$;
(3)$\Pi_1$与$\Pi_2$重合的充要条件是$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$。

  由于相交的两平面相交于一直线,因而直线方程可由两平面方程构成的方程组表示出来,即由形式
$$\left\{ \begin{array}{l}
A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\
A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{array} \right.$$
  表示,上式称为直线$l$的一般方程
  直线的标准方程和一般方程之间可以互相转化。
  空间中过同一直线$l$的一切平面的集合叫有轴平面束,$l$叫平面束的。空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫平行平面束

定理2 设两平面$\Pi_i$:$A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0$($i=1,2$)交于一直线$l$,那么以$l$为轴的有轴平面束的方程为
$$\sum\limits_{i=1}^2 \lambda_i(A_ix+B_iy+C_iz+D_i)=0,$$
  其中,$(\lambda_1,\lambda_2) \ne (0,0)$。

  类似地有以下定理。

定理3 如果两个平行平面为$\Pi_i$:$A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0$($i=1,2$),则平行于$\Pi_1$($\Pi_2$)的平行平面束的方程也有定理3的形式,其中$(\lambda_1,\lambda_2) \ne (0,0)$且满足$\lambda_1:\lambda_2 \ne -A_2:A_1=-B_2:B_1=-C_2:C_1$。

推论 平行于平面$\Pi$:$Ax+By+Cz+D=0$的平行平面束方程为
$$Ax+By+Cz+D+\lambda=0,$$
  其中,$\lambda$为任意实数。

命题3 三个平面$\Pi_i$:$A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0$($i=1,2,3$)相交于一点的充要条件是
$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
A_1&A_2&A_3\\
B_1&B_2&B_3\\
C_1&C_2&C_3
\end{array}} \right| \ne 0。$$

  从代数的角度看,三个平面交于一点等价于由其构成的线性方程组有唯一解。根据Cramer法则立即得到此命题。
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