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[高等代数] 对偶空间

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发表于 2017-11-9 20:21:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
  设$V$是数域$P$上一个$n$维线性空间。$V$上全体线性函数组成的集合记作$L(V,P)$。可以用自然的方法在$L(V,P)$上定义加法和数量乘法。
  设$f$,$g$是$V$的两个线性函数。定义函数$f+g$如下:
$$(f+g)(\alpha)=f(\alpha)+g(\alpha),\alpha \in V。$$
  $f+g$也是线性函数。
  $f+g$称为$f$与$g$的和。
  还可以定义数量乘法。设$f$是$V$上的线性函数,对$P$中任意数$k$,定义函数$kf$如下:
$$(kf)(\alpha)=k(f(\alpha)),\alpha \in V,$$
$kf$称为$k$与$f$的数量乘积,易证$kf$也是线性函数。
  容易检验,在这样定义的加法和数量乘法下,$L(V,P)$成为数域$P$上的线性空间。
  取定$V$的一组基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$,作$V$上$n$个线性函数$f_1$,$f_2$,$\cdots$,$f_n$,使得
$$f_i(\epsilon_i)= \left\{ \begin{array}{l} 1,j=i\\ 0,j \ne i \end{array} \right. ,i,j=1,2,\cdots,n。$$
  因为$f_i$在基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$上的值已确定,这样的线性函数是存在且唯一的。对$V$中向量$\alpha=\sum\limits_{i=1}^n x_i\epsilon_i$,有$f_i(\alpha)=x_i$,
  即$f_i(\alpha)$是$\alpha$的第$i$个坐标的值。

引理 对$V$中任意向量$\alpha$,有
$$\alpha=\sum\limits_{i=1}^n f_i(\alpha)\epsilon_i,$$
  而对$L(V,P)$中任意向量$f$,有
$$f=\sum\limits_{i=1}^n f(\epsilon_i)f_i。$$

定理1 $L(V,P)$的维数等于$V$的维数,而且$f_1$,$f_2$,$\cdots$,$f_n$是$L(V,P)$的一组基。

定义 $L(V,P)$称为$V$的对偶空间。由
$$f_i(\epsilon_i)= \left\{ \begin{array}{l} 1,j=i\\ 0,j \ne i \end{array} \right. ,i,j=1,2,\cdots,n。$$
  决定的$L(V,P)$的基,称为$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$的对偶基。

  我们简单地把$V$的对偶空间记作$V^*$。
  下面讨论$V$的两组基的对偶基之间的关系。

定理2 设$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$及$\eta_1$,$\eta_2$,$\cdots$,$\eta_n$是线性空间$V$的两组基,它们的对偶基分别为$f_1$,$f_2$,$\cdots$,$f_n$及$g_1$,$g_2$,$\cdots$,$g_n$。如果由$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$到$\eta_1$,$\eta_2$,$\cdots$,$\eta_n$的过渡矩阵为$A$,那么由$f_1$,$f_2$,$\cdots$,$f_n$到$g_1$,$g_2$,$\cdots$,$g_n$的过渡矩阵为$(A')^{-1}$。

  设$V$是$P$上一个线性空间,$V^*$是其对偶空间,取定$V$中一个向量$x$,定义$V^*$的一个函数$x^{* *}$如下:
$$x^{* *}(f)=f(x),f \in V^*。$$
  根据线性函数的定义,容易检验$x^{* *}$是$V^*$上的一个线性函数,因此是$V^*$的对偶空间${V^*}^*=V^{* *}$中的一个元素。

定理3 $V$是一个线性空间,$V^{* *}$是$V$的对偶空间的对偶空间。$V$到$V^{* *}$的映射
$$x \to x^{* *}$$
  是一个同构映射。

  这个定义说明,线性空间$V$也可看成$V^*$的线性函数空间,$V$与$V^*$实际上是互为线性函数空间的。这就是对偶空间名词的来由。由此可知,任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间,这个看法在多线性代数中是很重要的。
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