标准正交基

castelu

定义1　欧氏空间$V$中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。

　　应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组。当然，以下讨论的正交向量组都是非空的。
　　不难证明，正交向量组是线性无关的。
　　这个结果说明，在$n$维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过$n$个。这个事实的几何意义是清楚的。例如，在平面上找不到三个两两垂直的非零向量；在空间中，找不到四个两两垂直的非零向量。
　　从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性质的讨论中有特殊的地位。在欧氏空间中，情况是相仿的。

定义2　在$n$维欧氏空间中，由$n$个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

　　对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基。
　　设$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$是一组标准正交基，由定义，有
$$(\epsilon_i,\epsilon_j)= \left\{ \begin{array}{l} 1,i=j\\ 0,i \ne j \end{array} \right. $$
　　显然，上式完全刻画了标准正交基的性质。换句话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单为矩阵。因为度量矩阵是正定的，根据关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵。这说明在$n$维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵。由此可以断言，在$n$维欧氏空间中，标准正交基是存在的。
　　在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表达出来，即
$$\alpha=(\epsilon_1,\alpha)\epsilon_1+(\epsilon_2,\alpha)\epsilon_2+\cdots+(\epsilon_n,\alpha)\epsilon_n。$$
　　事实上，设
$$\alpha=x_1\epsilon_1+x_2\epsilon_2+\cdots+x_n\epsilon_n。$$
　　用$\epsilon_i$与等式两边作内积，即得
$$x_i=(\epsilon_i,\alpha)（i=1,2,\cdots,n）。$$
　　在标准正交基下，内积有特别简单的表达式。设
$$\alpha=x_1\epsilon_1+x_2\epsilon_2+\cdots+x_n\epsilon_n，$$
$$\beta=y_1\epsilon_1+y_2\epsilon_2+\cdots+y_n\epsilon_n。$$
　　那么
$$(\alpha,\beta)=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n=X'Y。$$
　　这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广。
　　应该指出，内积的表达式
$$(\alpha,\beta)=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n=X'Y，$$
　　对于任一组标准正交基都是一样的。这就说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位。在欧氏空间的同构，这一点将得到进一步的说明。

　　下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基的求法。

定理1　$n$维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。

　　在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了空间的一组基。对于这种情形，有下面的结果：

定理2　对于$n$维欧氏空间中任意一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，都可以找到一组标准正交基$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_n$，使
$$L(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_i)=L(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_i)，i=1,2,\cdots,n。$$
　　
　　应该指出，定理中的要求
$$L(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_i)=L(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_i)，i=1,2,\cdots,n。$$
　　就相当于由基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$到基$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_n$的过渡矩阵是上三角形的。
　　定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称做施密特（Schimidt）正交化过程。
　　上面讨论了标准正交基的求法。由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。
　　设$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$与$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_n$是欧氏空间$V$中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是$A=(a_(ij))$，即
$$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) 。$$
　　因为$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_n$是标准正交基，所以
$$(\eta_i,\eta_j)= \left\{ \begin{array}{l} 1,i=j\\ 0,i \ne j \end{array} \right. $$
　　矩阵$A$的各列就是$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_n$在标准正交基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的坐标。按公式
$$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) ，$$
$$(\eta_i,\eta_j)=\left\{ \begin{array}{l} 1,i=j\\ 0,i \ne j \end{array} \right. $$
　　可以表示为
$$a_{1i}a_{1j}+a_{2i}a_{2j}+\cdots+a_{ni}a_{nj}= \left\{ \begin{array}{l} 1,i=j\\ 0,i \ne j \end{array} \right. $$
　　上式相当于一个矩阵的等式
$$A'A=E，$$
　　或者
$$A^{-1}=A'。$$
　　我们引入：

定义3　$n$级实数矩阵$A$称为正交矩阵，如果$A'A=E$。

　　因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基。
　　最后我们指出，根据逆矩阵的性质，由
$$A'A=E$$
　　即得
$$A A'=E。$$
　　写出来就是
$$a_{i1}a_{j1}+a_{i2}a_{j2}+\cdots+a_{i n}a_{jn}=\left\{ \begin{array}{l} 1,i=j\\ 0,i \ne j \end{array} \right. $$
$$a_{1i}a_{1j}+a_{2i}a_{2j}+\cdots+a_{ni}a_{nj}=\left\{ \begin{array}{l} 1,i=j\\ 0,i \ne j \end{array} \right. $$
　　是矩阵列与列之间的关系，
$$a_{i1}a_{j1}+a_{i2}a_{j2}+\cdots+a_{i n}a_{jn}= \left\{ \begin{array}{l} 1,i=j\\ 0,i \ne j \end{array} \right. $$
是行与行之间的关系，这两组关系是等价的。