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[高等代数] λ-矩阵的标准形

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发表于 2017-11-9 19:56:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
  $\lambda$-矩阵也可以有初等变换。

定义1 下面的三种变换叫做$\lambda$-矩阵的初等变换:
(1)矩阵的两行(列)互换位置;
(2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数$c$;
(3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的$\phi(\lambda)$倍,$\phi(\lambda)$是一个多项式。

  和数字矩阵的初等变换一样,可以引进初等矩阵。例如,将单位矩阵的第$j$行的$\phi(\lambda)$倍加到第$i$行上得
$$P(i,j(\phi))= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&&&&&&\\ &\ddots&&&&&\\ &&1&\cdots&\phi(\lambda)&&\\ &&&\ddots&\vdots&&\\ &&&&1&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&1 \end{array}} \right) $$
  仍用$P(i,j)$表示由单位矩阵经过第$i$行第$j$行互换位置所得的初等矩阵,用$P(i(c))$表示用非零常数$c$乘单位矩阵第$i$行所得的初等矩阵。同样地,对一个$s \times n$的$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$作一次初等行变换就相当于在$A(\lambda)$的左边乘上相应的$s \times s$初等矩阵;对$A(\lambda)$作一次初等列变换就相当于在$A(\lambda)$的右边乘上相应的$n \times n$的初等矩阵。
  初等矩阵都是可逆的,并且有
$$P(i,j)^{-1}=P(i,j),P(i(c))^{-1}=P(i(c^{-1})),P(i,j(\phi))^{-1}=P(i,j(-\phi))。$$
  由此得出初等变换具有可逆性:设$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$用初等变换变成$B(\lambda)$,这相当于对$A(\lambda)$左乘或右乘一个初等矩阵。再用此初等矩阵的逆矩阵来乘$B(\lambda)$就变回$A(\lambda)$,而这逆矩阵仍是初等矩阵,因而由$B(\lambda)$可用初等变换变回$A(\lambda)$。我们还可看出在第二种初等变换中,规定只能乘以一个非零常数,这也是为了使$P(i(c))$可逆的缘故。

定义2 $\lambda$-矩阵$A(\lambda)$称为与$B(\lambda)$等价,如果可以经过一系列初等变换将$A(\lambda)$化为$B(\lambda)$。

  等价是$\lambda$-矩阵之间的一种关系,这个关系,显然具有下列三个性质:
(1)反身性:每一个$\lambda$-矩阵与自己等价。
(2)对称性:若$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价,则$B(\lambda)$与$A(\lambda)$等价。这是由于初等变换具有可逆性的缘故。
(3)传递性:若$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价,$B(\lambda)$与$C(\lambda)$等价,则$A(\lambda)$与$C(\lambda)$等价。

  应用初等变换与初等矩阵的关系即得,矩阵$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价的充分必要条件为有一系列初等矩阵$P_1$,$P_2$,$\cdots$,$P_l$,$Q_1$,$Q_2$,$\cdots$,$Q_t$使
$$A(\lambda)=P_1P_2 \cdots P_lB(\lambda)Q_1Q_2 \cdots Q_t。$$

引理
 设$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$的左上角元素$a_{11}(\lambda) \ne 0$,并且$A(\lambda)$中至少有一个元素不能被它除尽,那么一定可以找到一个与$A(\lambda)$等价的矩阵$B(\lambda)$,它的左上角元素也不为零,但是次数比$a_{11}(\lambda)$的次数低。

定理 任意一个非零的$s \times n$的$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$都等价于下列形式的矩阵
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} d_1(\lambda)&&&&&&\\ &d_2(\lambda)&&&&&\\ &&\ddots&&&&\\ &&&d_r(\lambda)&&&\\ &&&&0&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&0 \end{array}} \right) ,$$
  其中$r \ge 1$,$d_i(\lambda)$($i=1,2,\cdots,r$)是首项系数为$1$的多项式,且
$$d_i(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)(i=1,2,\cdots,r-1)。$$
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} d_1(\lambda)&0&\cdots&0\\ 0&d_2(\lambda)&\cdots&0\\ 0&0&&\\ \cdots&\cdots&A_2(\lambda)&\\ 0&0&& \end{array}} \right),$$
  其中$d_1(\lambda)$与$d_2(\lambda)$都是首项系数为$1$的多项式($d_1(\lambda)$与$d_2(\lambda)$只差一个常数倍数),而且$d_1(\lambda) \mid d_2(\lambda)$,$d_2(\lambda)$能除尽$A_2(\lambda)$的全部元素。

  这个矩阵称为$A(\lambda)$的标准形。
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