不变子空间

castelu

定义　设$\mathcal A$是数域$P$上线性空间$V$的线性变换，$W$是$V$的子空间。如果$W$中的向量在$\mathcal A$下的像仍在$W$中，换句话说，对于$W$中任一向量$\xi$，有$\mathcal A \xi \in W$，我们就称$W$是$\mathcal A$的不变子空间，简称$\mathcal A$-子空间。

　　下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。
1）设$\mathcal A$是$n$维线性空间$V$的线性变换，$W$是$V$的$\mathcal A$-子空间。在$W$中取一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_k$，并且把它扩充成$V$的一组基
$$\epsilon_1，\epsilon_2，\cdots，\epsilon_k，\epsilon_{k+1}，\cdots，\epsilon_n。$$
　　那么，$\mathcal A$在这组基下的矩阵就具有下列形状
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&\cdots&a_{1k}&a_{1,k+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}&a_{k,k+1}&\cdots&a_{kn}\\ 0&\cdots&0&a_{k+1,k+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&0&a_{n,k+1}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&A_3\\ O&A_2 \end{array}} \right) 。$$
　　并且左上角的$k$级矩阵$A_1$就是$\mathcal A|W$在$W$的基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_k$下的矩阵。
　　反之，如果$\mathcal A$在基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_k$，$\epsilon_{k+1}$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的矩阵是
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&\cdots&a_{1k}&a_{1,k+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}&a_{k,k+1}&\cdots&a_{kn}\\ 0&\cdots&0&a_{k+1,k+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&0&a_{n,k+1}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&A_3\\ O&A_2 \end{array}} \right)，$$
　　那么不难证明，由$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_k$生成的子空间$W$是$\mathcal A$的不变子空间。
2）设$V$分解成若干个$\mathcal A$-子空间的直和：
$$V=W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_s。$$
　　在每一个$\mathcal A$-子空间$W_i$中取基
$$\epsilon_{i1}，\epsilon_{i2}，\cdots，\epsilon_{i n_i}（i=1,2,\cdots,s），$$
　　并把它们合并起来成为$V$的一组基$I$。则在这组基下，$\mathcal A$的矩阵具有准对角形状
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&&&\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&A_s \end{array}} \right) $$
　　其中$A_i$（$i=1,2,\cdots,s$）就是$\mathcal A|W_i$在基$\epsilon_{i1}$，$\epsilon_{i2}$，$\cdots$，$\epsilon_{i n_i}$（$i=1,2,\cdots,s$）下的矩阵。
　　反之，如果线性变换$\mathcal A$在基$I$下的矩阵是准对角形
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&&&\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&A_s \end{array}} \right)，$$
　　则由$\epsilon_{i1}$，$\epsilon_{i2}$，$\cdots$，$\epsilon_{i n_i}$（$i=1,2,\cdots,s$）生成的子空间$W_i$是$\mathcal A-$子空间。
　　由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的。
　　下面我们应用Hamilton-Caylay定理将空间$V$按特征值分解成不变子空间的直和。

定理　设线性变换$\mathcal A$的特征多项式为$f(\lambda)$，它可分解成一次因式的乘积
$$f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2} \cdots (\lambda-\lambda_s)^{r_s}。$$
　　则$V$可分解成不变子空间的直和
$$V=V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s，$$
　　其中$V_i=\left\{\xi|(\mathcal A-\lambda_i \mathcal\epsilon)^{r_i} \xi=0,\xi \in V \right\}$。