请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 1489|回复: 0

[高等代数] 特征值与特征向量

[复制链接]
发表于 2017-11-9 19:48:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
  我们知道,在有限维线性空间中,取了一组基之后,线性变换就可以用矩阵来表示。为了利用矩阵来研究线性变换,对于每个给定的线性变换,我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式。

定义1 设$\mathcal A$是数域$P$上线性空间$V$的一个线性变换,如果对于数域$P$中一数$\lambda_0$,存在一个非零向量$\xi$,使得
$$\mathcal A \xi=\lambda_0 \xi。$$
  那么$\lambda_0$称为$\mathcal A$的一个特征值,而$\xi$称为$\mathcal A$的属于特征值$\lambda_0$的一个特征向量。

  从几何上来看,特征向量的方向经过线性变换后,保持在同一条直线上,这时或者方向不变($\lambda_0>0$),或者方向相反($\lambda_0<0$),至于$\lambda_0=0$时,特征向量就被线性变换变成$0$。
  如果$\xi$是线性变换$\mathcal A$的属于特征值$\lambda_0$的特征向量,那么$\xi$的任何一个非零倍数$k \xi$也是$\mathcal A$的属于$\lambda_0$的特征向量。因为从
$$\mathcal A \xi=\lambda_0 \xi$$
  可以推出
$$\mathcal A(k \xi)=\lambda_0(k \xi)。$$
  这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的。相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的,因为,一个特征向量只能属于一个特征值。

定义2 设$A$是数域$P$上一$n$级矩阵,$\lambda$是一个文字。矩阵$\lambda E-A$的行列式
$$|\lambda E-A|= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{n n} \end{array}} \right| $$
  称为$A$的特征多项式,这是数域$P$上的一个$n$次多项式。

  确定一个线性变换$\mathcal A$的特征值与特征向量的方法可以分成以下几步:
1、在线性空间$V$中取一组基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$,写出$\mathcal A$在这组基下的矩阵$A$;
2、求出$A$的特征多项式$|\lambda E-A|$在数域$P$中全部的根,它们也就是线性变换$\mathcal A$的全部特征值;
3、把所求得的特征值逐个地代入方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} (\lambda_0-a_{11})x_1-a_{12}x_2-\cdots-a_{1n}x_n=0\\ -a_{21}x_1+(\lambda_0-a_{22})x_2-\cdots-a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ -a_{n1}-a_{n2}x_2-\cdots+(\lambda_0-a_{n n})x_n=0 \end{array} \right. ,$$

  对于每一个特征值,解方程组,求出一组基础解系,它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基$\epsilon_1$,$\epsilon_2$,$\cdots$,$\epsilon_n$下的坐标,这样,我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。
  矩阵$A$的特征多项式的根有时也称为$A$的特征值,而相应的线性方程组的解也就称为$A$的属于这个特征值的特征向量。
  容易看出,对于线性变换$\mathcal A$的任一个特征值$\lambda_0$,全部适合条件
$$\mathcal A \alpha=\lambda_0 \alpha$$
  的向量$\alpha$所成的集合,也就是$\mathcal A$的属于$\lambda_0$的全部特征向量再添上零向量所成的集合,是$V$的一个子空间,称为$\mathcal A$的一个特征子空间,记为$V_{\lambda_0}$。显然,$V_{\lambda_0}$的维数就是属于$\lambda_0$的线性无关的特征向量的最大个数。用集合记号可写为$V_{\lambda_0}=\left\{\alpha|A \alpha=\lambda_0 \alpha,\alpha \in V \right\}$。
  在线性变换的研究中,矩阵的特征多项式是重要的。下面先来看一下它的系数。在
$$|\lambda E-A|= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{n n} \end{array}} \right| $$
  的展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积
$$(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22}) \cdots (\lambda-a_{n n})。$$
  展开式中的其余各项,至多包含$n-2$个主对角线上的元素,它对$\lambda$的次数最多是$n-2$。因此特征多项式中含$\lambda$的$n$次与$n-1$次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现,它们是
$$\lambda^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n})\lambda^{n-1}。$$
  在特征多项式中令$\lambda=0$,即得常数项$|-A|=(-1)^n|A|$。
  因此,如果只写出特征多项式的前两项与常数项,就有
$$|\lambda E-A|=\lambda^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n})\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|。$$
  如$\lambda E-A$在数域$P$上能分解为一次因式的乘积,由根与系数的关系可知,$A$的全体特征值的和为$a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$(称为$A$的迹,记为${\rm Tr}(A)$)。而$A$的全体特征值的积为$|A|$。
  特征值自然是被线性变换所决定的。但是在有限维空间中,任取一组基之后,特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根。随着基的不同,线性变换的矩阵一般是不同的。但是这些矩阵是相似的,对于相似矩阵我们有

定理1 相似的矩阵有相同的特征多项式。

  定理1正好说明,线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关,它是直接被线性变换决定的。因此,以后就可以说线性变换的特征多项式了。
  既然相似的矩阵有相同的特征多项式,当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的。譬如说,考虑特征多项式的常数项,得到相似矩阵有相同的行列式。因此,我们就可以说线性变换的行列式了。
  应该指出,定理1的逆是不对的,特征多项式相同的矩阵不一定是相似的。
  最后,我们指出特征多项式的一个重要性质。

定理2(Hamilton-Caylay定理) 设$A$是数域$P$上一个$n \times n$矩阵,$f(\lambda)=|\lambda E-A|$是$A$的特征多项式,则
$$f(A)=A^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n})A^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|E=O。$$

  因为线性变换和矩阵的对应是保持运算的,所以由这定理得

推论 设$\mathcal A$是有限维空间$V$的线性变换,$f(\lambda)$是$\mathcal A$的特征多项式,那么$f(\mathcal A)=\mathcal O$。
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2024-3-29 14:58 , Processed in 1.203125 second(s), 21 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表