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[高等代数] 子空间的直和

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发表于 2017-11-9 19:37:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
  子空间的直和是子空间的和的一个重要的特殊情形。

定义1 设$V_1$,$V_2$是线性空间$V$的子空间,如果和$V_1+V_2$中每个向量$\alpha$的分解式
$$\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1 \in  V_1,\alpha_2 \in V_2,$$
  是唯一的,这个和就称为直和,记为$V_1 \oplus V_2$。

定理1 和$V_1+V_2$是直和的充分必要条件是等式
$$\alpha_1+\alpha_2=0,$$
$$\alpha_i \in V_i(i=1,2)$$
  只有在$\alpha_i$全为零向量时才成立。

推论 和$V_1+V_2$为直和的充分必要条件是
$$V_1 \cap V_2={0}。$$

定理2 设$V_1$,$V_2$是$V$的子空间,令$W=V_1+V_2$,则
$$W=V_1 \oplus V_2$$
  的充分必要条件为
$$维(W)=维(V_1)+维(V_2)。$$

定理3 设$U$是线性空间$V$的一个子空间,那么一定存在一个子空间$W$使$V=U \oplus W$。

  子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形。

定义2 设$V_1$,$V_2$,$\cdots$,$V_s$都是线性空间$V$的子空间。如果和$V_1+V_2+\cdots+V_s$中每个向量$\alpha$的分解式
$$\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s,\alpha_i \in V_i(i=1,2,\cdots,s)$$
  是唯一的,这个和就称为直和。记为$V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s$。

  和两个子空间的直和一样,我们有

定理4 $V_1$,$V_2$,$\cdots$,$V_s$是$V$的一些子空间,下面这些条件是等价的:
1)$W=\sum\limits V_i$是直和;
2)零向量的表法唯一;
3)$V_i \cap \sum\limits_{j \ne i} V_j={0}$($i=1,2,\cdots,s$);
4)$维(W)=\sum\limits 维(V_i)$。
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